Tronco de cone e tronco de pirâmide: entenda os conceitos essenciais

Tronco de cone e tronco de pirâmide

O tronco de cone e o tronco de pirâmide são sólidos geométricos formados pela secção de um cone ou pirâmide por um plano paralelo à base, removendo-se a parte superior.

Esses sólidos são figuras tridimensionais que aparecem em diversas situações práticas, desde objetos do cotidiano até projetos de engenharia e arquitetura.

O estudo do tronco de cone e do tronco de pirâmide é fundamental na geometria espacial, sendo frequentemente cobrado em exames como o ENEM e outros vestibulares, exigindo o conhecimento de suas propriedades e fórmulas de cálculo de volume e área.

Características

As principais características do tronco de cone e do tronco de pirâmide são:

• Possuem duas bases paralelas e semelhantes, sendo uma base maior e uma base menor.
• As faces laterais são trapézios no caso do tronco de pirâmide e uma superfície cônica no tronco de cone.
• Podem ser classificados como retos ou oblíquos, dependendo da posição do eixo em relação às bases.
• Suas fórmulas de volume e área são derivadas das fórmulas dos sólidos originais (cone e pirâmide).
• A altura do tronco é a distância perpendicular entre suas duas bases.

Estrutura

A estrutura do tronco de cone e do tronco de pirâmide é composta por:

• Base maior (B): A base original do sólido, antes da secção.
• Base menor (b): A base formada pela secção paralela à base original.
• Altura (h): A distância perpendicular entre a base maior e a base menor.
• Faces laterais: No tronco de pirâmide, são trapézios; no tronco de cone, é uma superfície curva.
• Arestas: No tronco de pirâmide, são as linhas de encontro das faces.
• Geratrizes (g): No tronco de cone, são os segmentos que ligam os perímetros das bases.

Tronco de Pirâmide

O tronco de pirâmide é um poliedro com duas bases poligonais paralelas e faces laterais que são trapézios. Ele é obtido ao se cortar uma pirâmide por um plano paralelo à sua base.

Volume do Tronco de Pirâmide

O volume (V) de um tronco de pirâmide pode ser calculado pela fórmula:

V = ^h⁄₃ · (A_B + A_b + √(A_B · A_b))

Onde:
– h é a altura do tronco.
– A_B é a área da base maior.
– A_b é a área da base menor.

Exemplo:

Considere um tronco de pirâmide reta de base quadrada, onde a aresta da base maior mede 10 cm, a aresta da base menor mede 4 cm e a altura do tronco é 6 cm.

A área da base maior (A_B) é 10² = 100 cm².
A área da base menor (A_b) é 4² = 16 cm².
A altura (h) é 6 cm.

Aplicando a fórmula:
V = ⁶⁄₃ · (100 + 16 + √(100 · 16))
V = 2 · (116 + √1600)
V = 2 · (116 + 40)
V = 2 · 156
V = 312 cm³

Área da Superfície do Tronco de Pirâmide

A área total (A_T) de um tronco de pirâmide é a soma das áreas das duas bases com a área lateral (A_L):

A_T = A_B + A_b + A_L

A área lateral é a soma das áreas dos trapézios que formam as faces laterais. Para um tronco de pirâmide regular, onde as faces laterais são trapézios congruentes, a área lateral é o produto do número de faces pela área de uma face lateral.

Tronco de Cone

O tronco de cone é um sólido de revolução que possui duas bases circulares paralelas e uma superfície lateral curva. É obtido quando se secciona um cone por um plano paralelo à sua base.

Volume do Tronco de Cone

O volume (V) de um tronco de cone pode ser calculado pela fórmula:

V = ^{π · h}⁄₃ · (R² + r² + R · r)

Onde:
– h é a altura do tronco.
– R é o raio da base maior.
– r é o raio da base menor.

Exemplo:

Um balde tem formato de tronco de cone. Seus raios das bases são 20 cm e 10 cm, e sua altura é de 30 cm.

O raio da base maior (R) é 20 cm.
O raio da base menor (r) é 10 cm.
A altura (h) é 30 cm.

Aplicando a fórmula:
V = ^{π · 30}⁄₃ · (20² + 10² + 20 · 10)
V = 10π · (400 + 100 + 200)
V = 10π · 700
V = 7000π cm³

Área da Superfície do Tronco de Cone

A área total (A_T) de um tronco de cone é a soma das áreas das duas bases e da área lateral (A_L):

A_T = A_B + A_b + A_L

Onde:
– A_B = π R² (área da base maior).
– A_b = π r² (área da base menor).
– A_L = π g (R + r) (área lateral).
– g é a geratriz do tronco de cone, que pode ser calculada por: g = √(h² + (R – r)²).

Diferença entre Tronco de Cone e Tronco de Pirâmide

Exemplo de Aplicação

Para compreender melhor, veja o exemplo abaixo:

Exemplo:

Uma caixa de papelão para pipoca tem o formato de um tronco de cone invertido. As dimensões da base maior (abertura superior) são um círculo de 10 cm de diâmetro, e a base menor (fundo) é um círculo de 6 cm de diâmetro. A altura da caixa é de 12 cm. Qual o volume aproximado de pipoca que essa caixa pode conter? (Use π ≈ 3,14).

(Contexto de aplicação em embalagens)

Primeiro, determinamos os raios:
Diâmetro da base maior = 10 cm → Raio (R) = 5 cm
Diâmetro da base menor = 6 cm → Raio (r) = 3 cm
Altura (h) = 12 cm

Aplicando a fórmula do volume do tronco de cone:
V = ^{π · h}⁄₃ · (R² + r² + R · r)
V = ^{3,14 · 12}⁄₃ · (5² + 3² + 5 · 3)
V = 3,14 · 4 · (25 + 9 + 15)
V = 12,56 · 49
V = 615,44 cm³

No exemplo acima, podemos identificar a aplicação direta da fórmula do volume do tronco de cone para resolver um problema prático envolvendo embalagens.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2016)

Uma empresa fabrica e comercializa um tipo de chocolate na forma de um tronco de pirâmide regular de base quadrada. A aresta da base maior mede 12 cm, a aresta da base menor mede 6 cm e a altura do tronco é 8 cm. Qual é o volume desse chocolate?

• a) 288 cm³
• b) 336 cm³
• c) 448 cm³
• d) 576 cm³
• e) 672 cm³

Resposta: Alternativa e:

A área da base maior (A_B) é 12² = 144 cm².
A área da base menor (A_b) é 6² = 36 cm².
A altura (h) é 8 cm.
V = ^h⁄₃ · (A_B + A_b + √(A_B · A_b))
V = ⁸⁄₃ · (144 + 36 + √(144 · 36))
V = ⁸⁄₃ · (180 + 72)
V = ⁸⁄₃ · 252
V = 8 · 84
V = 672 cm³

2. (VESTIBULAR-SP)

Um recipiente em formato de tronco de cone tem raios de bases de 4 cm e 8 cm, e altura de 3 cm. Qual é o volume desse recipiente, em cm³? (Considere π = 3)

• a) 112 cm³
• b) 224 cm³
• c) 336 cm³
• d) 448 cm³
• e) 504 cm³

Resposta: Alternativa c:

O raio da base maior (R) é 8 cm.
O raio da base menor (r) é 4 cm.
A altura (h) é 3 cm.
π = 3.
V = ^{π · h}⁄₃ · (R² + r² + R · r)
V = ^{3 · 3}⁄₃ · (8² + 4² + 8 · 4)
V = 3 · (64 + 16 + 32)
V = 3 · 112
V = 336 cm³