Ângulos opostos pelo vértice

Ângulos opostos pelo vértice

Ângulos opostos pelo vértice (também conhecidos pela sigla OPV) são um par de ângulos formados pelo cruzamento de duas retas concorrentes, ou seja, que se interceptam em um único ponto. Eles são caracterizados por terem o mesmo vértice e estarem em lados opostos em relação a esse ponto de intersecção.

Ao estudar geometria, os ângulos opostos pelo vértice são um conceito fundamental, pois sua principal propriedade é a de serem congruentes, ou seja, possuírem a mesma medida. Essa propriedade é amplamente utilizada na resolução de problemas envolvendo geometria plana, especialmente em vestibulares e no ENEM.

Compreender os ângulos opostos pelo vértice é crucial para avançar em tópicos mais complexos da geometria, como o estudo de triângulos, paralelogramos e outros polígonos.

Características

As principais características dos ângulos opostos pelo vértice são:

• Formação: São formados pela intersecção de duas retas concorrentes.
• Vértice Comum: Compartilham o mesmo vértice, que é o ponto de encontro das retas.
• Posição Oposta: Estão em posições diretamente opostas um ao outro em relação ao vértice.
• Congruência: Possuem a mesma medida, sendo esse o seu principal teorema.
• Não Adjacentes: Não compartilham lados comuns, apenas o vértice.

Propriedades

A propriedade mais importante dos ângulos opostos pelo vértice é a sua congruência. Isso significa que, se você tem dois ângulos que são OPV, eles sempre terão a mesma medida.

Demonstração da Congruência

Para entender por que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, considere o seguinte:

Imagine duas retas, r e s, que se cruzam em um ponto V.

        r
       /|
      / |
     /  |
    A---+---B
   /    |
  /     |
 /      |
C-------V-------D
 \      |
  \     |
   \    |
    E---+---F
     \  |
      \ |
       \|
        s

Os ângulos formados são:

• ∠AVD e ∠CVB são opostos pelo vértice.
• ∠AVC e ∠BVD são opostos pelo vértice.

Vamos analisar os ângulos ∠AVC e ∠BVD.

1. O ângulo ∠AVC e o ângulo ∠CVB são ângulos adjacentes suplementares, pois juntos formam a reta s. Portanto, a soma de suas medidas é 180°: m(∠AVC) + m(∠CVB) = 180°.
2. O ângulo ∠CVB e o ângulo ∠BVD também são ângulos adjacentes suplementares, pois juntos formam a reta r. Portanto, a soma de suas medidas é 180°: m(∠CVB) + m(∠BVD) = 180°.

Ao compararmos as duas equações:

m(∠AVC) + m(∠CVB) = 180°
m(∠CVB) + m(∠BVD) = 180°

Podemos concluir que:

m(∠AVC) + m(∠CVB) = m(∠CVB) + m(∠BVD)

Subtraindo m(∠CVB) de ambos os lados da equação, obtemos:

m(∠AVC) = m(∠BVD)

Isso demonstra que os ângulos opostos pelo vértice ∠AVC e ∠BVD são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. A mesma lógica se aplica a ∠AVD e ∠CVB.

Como calcular ângulos opostos pelo vértice

O cálculo de ângulos opostos pelo vértice é direto, pois se baseia na sua principal propriedade: a congruência.

Exemplos de Cálculo

Se você sabe a medida de um ângulo, automaticamente sabe a medida do seu ângulo oposto pelo vértice.

Exemplo:

Seja α e β dois ângulos opostos pelo vértice. Se a medida de α é 70°, então a medida de β também é 70°.

m(α) = 70°
m(β) = 70° (pois são OPV)

Em muitos problemas, as medidas dos ângulos são dadas por expressões algébricas. Nesse caso, a propriedade de congruência permite montar uma equação.

Exemplo:

Duvas retas se cruzam formando quatro ângulos. Dois desses ângulos são opostos pelo vértice e suas medidas são dadas por (3x - 10)° e (x + 50)°. Calcule o valor de x e a medida desses ângulos.

Como os ângulos são opostos pelo vértice, eles são congruentes. Portanto, podemos igualar suas expressões:

3x - 10 = x + 50

Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de x:

3x - x = 50 + 10
2x = 60
x = 60 / 2
x = 30

Para encontrar a medida dos ângulos, substituímos x = 30 em uma das expressões:

Medida do primeiro ângulo: 3x - 10 = 3 * (30) - 10 = 90 - 10 = 80°
Medida do segundo ângulo: x + 50 = 30 + 50 = 80°

Ambos os ângulos medem 80°, o que confirma a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2018)

Duas retas se interceptam, formando quatro ângulos. Se a soma de dois ângulos adjacentes é 180° e um dos ângulos formados mede 110°, qual é a medida do seu ângulo oposto pelo vértice?

• a) 20°
• b) 70°
• c) 90°
• d) 110°
• e) 180°

Resposta: Alternativa d: A propriedade dos ângulos opostos pelo vértice afirma que eles são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Portanto, se um ângulo mede 110°, seu ângulo oposto pelo vértice também medirá 110°.

2. (VESTIBULAR-SP)

Considere duas retas concorrentes que formam ângulos com as seguintes medidas: (2x + 15)° e (4x - 45)°. Sabendo que esses dois ângulos são opostos pelo vértice, determine o valor de x.

• a) 15
• b) 20
• c) 30
• d) 45
• e) 60

Resposta: Alternativa c: Como os ângulos são opostos pelo vértice, eles são congruentes.
2x + 15 = 4x - 45
15 + 45 = 4x - 2x
60 = 2x
x = 30

3. (UNESP)

Na figura abaixo, as retas r e s são concorrentes no ponto P. Os ângulos α e β são opostos pelo vértice, e o ângulo θ é adjacente e suplementar a α. Se α = 3θ, qual a medida de β?

        r
       /|
      / | α
     /  |
    ---+---
   /   P| θ
  /     |
 /      | β
C-------V-------D
 \      |
  \     |
   \    |
    ----+---
     \  |
      \ |
       \|
        s

• a) 30°
• b) 45°
• c) 60°
• d) 90°
• e) 135°

Resposta: Alternativa e:
Sabemos que α e θ são adjacentes suplementares, então α + θ = 180°.
Foi dado que α = 3θ.
Substituindo α na primeira equação: 3θ + θ = 180°
4θ = 180°
θ = 180° / 4
θ = 45°

Agora, encontramos α:
α = 3θ = 3 * 45° = 135°

Como α e β são ângulos opostos pelo vértice, eles são congruentes.
Portanto, β = α = 135°.