Tangente à circunferência

Tangente à circunferência

A tangente à circunferência é uma reta que toca a circunferência em apenas um único ponto, chamado de ponto de tangência. Essa reta é um conceito fundamental na geometria e possui propriedades específicas que são amplamente exploradas em problemas de matemática e vestibulares.

Em outras palavras, a tangente “raspa” a circunferência em um ponto sem cruzá-la. É como se a reta e a circunferência “se beijassem” em um ponto exclusivo.

Compreender a tangente à circunferência é essencial para resolver problemas de geometria analítica, cálculo diferencial e diversas aplicações práticas em engenharia e física, sendo frequentemente cobrada no ENEM e em outros processos seletivos.

Características

As principais características da reta tangente à circunferência são:

• Ela intercepta a circunferência em um único ponto, o ponto de tangência.
• O raio da circunferência que se estende até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente nesse ponto. Isso forma um ângulo de 90 graus.
• A distância do centro da circunferência à reta tangente é igual ao raio da circunferência.
• Uma circunferência possui infinitas retas tangentes, uma para cada ponto de sua extensão.
• Se duas retas tangentes partem de um ponto externo à circunferência e tocam a circunferência em dois pontos distintos, os segmentos dessas retas, do ponto externo aos pontos de tangência, possuem o mesmo comprimento.

Estrutura

A estrutura da relação entre uma reta e uma circunferência, quando a reta é tangente, é caracterizada pelos seguintes elementos:

• Circunferência: A curva fechada que representa o conjunto de pontos equidistantes de um centro.
• Centro (C): O ponto equidistante de todos os pontos da circunferência.
• Raio (r): O segmento de reta que liga o centro a qualquer ponto da circunferência.
• Reta Tangente (t): A reta que intercepta a circunferência em apenas um ponto.
• Ponto de Tangência (P): O único ponto em comum entre a reta tangente e a circunferência.

Propriedades da Tangente à Circunferência

A reta tangente possui propriedades geométricas específicas que são cruciais para a resolução de problemas.

Perpendicularidade entre Raio e Tangente

Uma das propriedades mais importantes é que o raio da circunferência que se une ao ponto de tangência é sempre perpendicular à reta tangente nesse ponto.

Exemplo:

Se uma circunferência tem centro $C$ e uma reta $t$ é tangente à circunferência no ponto $P$, então o segmento $CP$ (que é o raio) forma um ângulo de 90 graus com a reta $t$. Matematicamente, podemos dizer que $CP \perp t$.

Segmentos Tangentes de um Ponto Exterior

Quando duas retas tangentes são traçadas a partir de um ponto externo à circunferência, elas formam segmentos de igual comprimento.

Exemplo:

Considere um ponto $A$ externo a uma circunferência. Se duas retas tangentes partem de $A$ e tocam a circunferência nos pontos $B$ e $D$, respectivamente, então os segmentos $AB$ e $AD$ terão o mesmo comprimento. Ou seja, $AB = AD$.

Exemplo de Cálculo da Tangente à Circunferência

Para determinar a equação de uma reta tangente a uma circunferência, geralmente utilizamos a propriedade de perpendicularidade entre o raio e a tangente.

Problema:

Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação $x^2 + y^2 = 25$ no ponto $(3, 4)$.

Resolução:

1. Identificar o centro e o raio da circunferência: A equação $x^2 + y^2 = 25$ representa uma circunferência centrada na origem $(0, 0)$ com raio $r = \sqrt{25} = 5$.
2. Determinar o coeficiente angular do raio: O raio liga o centro $(0, 0)$ ao ponto de tangência $(3, 4)$.
   O coeficiente angular $(m_r)$ desse raio é dado por:
   $m_r = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{4 – 0}{3 – 0} = \frac{4}{3}$
3. Determinar o coeficiente angular da reta tangente: Como o raio é perpendicular à reta tangente, o produto de seus coeficientes angulares é $-1$.
   $m_r \cdot m_t = -1$
   $\frac{4}{3} \cdot m_t = -1$
   $m_t = -\frac{3}{4}$
4. Encontrar a equação da reta tangente: Usamos a equação da reta $y – y_0 = m(x – x_0)$, onde $(x_0, y_0)$ é o ponto de tangência $(3, 4)$ e $m$ é o coeficiente angular da tangente $(-\frac{3}{4})$.
   $y – 4 = -\frac{3}{4}(x – 3)$
   Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
   $4(y – 4) = -3(x – 3)$
   $4y – 16 = -3x + 9$
   $3x + 4y – 16 – 9 = 0$
   $3x + 4y – 25 = 0$

Assim, a equação da reta tangente à circunferência $x^2 + y^2 = 25$ no ponto $(3, 4)$ é $3x + 4y – 25 = 0$.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2017)

Uma roda-gigante tem seus assentos fixados em pontos equidistantes de um círculo de raio R. Quando a roda-gigante está em movimento, cada assento descreve uma trajetória circular. Em um determinado instante, um assento A está no ponto mais alto da trajetória e um assento B está na posição horizontal à direita do centro da roda. Qual a posição relativa da reta que passa pelo assento A e é tangente à trajetória do assento A em relação ao assento B?

• a) A reta passa por B.
• b) A reta é paralela ao plano horizontal que passa por B.
• c) A reta é perpendicular ao plano vertical que passa por B.
• d) A reta é paralela ao plano vertical que passa por B.
• e) A reta é perpendicular ao plano horizontal que passa por B.

Resposta: Alternativa b: No ponto mais alto da trajetória, o raio que liga o centro ao assento A é vertical. Como a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência, a reta tangente será horizontal. Se a reta é horizontal, ela é paralela a qualquer plano horizontal.

2. (UNIFESP-2003)

Considere a circunferência de equação $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5$. Determine a equação da reta tangente a essa circunferência no ponto $(2, 0)$.

• a) $x – 2y – 2 = 0$
• b) $2x + y – 4 = 0$
• c) $x + 2y – 2 = 0$
• d) $x – y – 2 = 0$
• e) $2x – y – 4 = 0$

Resposta: Alternativa c:

1. O centro da circunferência é $(1, -2)$.
2. O coeficiente angular do raio que liga $(1, -2)$ a $(2, 0)$ é $m_r = \frac{0 – (-2)}{2 – 1} = \frac{2}{1} = 2$.
3. O coeficiente angular da reta tangente é $m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{2}$.
4. Usando a equação da reta $y – y_0 = m(x – x_0)$ com o ponto $(2, 0)$ e $m_t = -\frac{1}{2}$:
   
   $y – 0 = -\frac{1}{2}(x – 2)$
   
   $2y = -(x – 2)$
   
   $2y = -x + 2$
   
   $x + 2y – 2 = 0$.