Queda livre e lançamento vertical

Queda Livre e Lançamento Vertical

A queda livre e o lançamento vertical são movimentos fundamentais da cinemática, que descrevem o deslocamento de corpos sob a influência exclusiva da gravidade, em uma linha reta na vertical. Esses conceitos são essenciais para compreender fenômenos do cotidiano e são frequentemente abordados em provas de vestibular e ENEM.

Compreender esses movimentos é crucial para analisar a trajetória de objetos que se deslocam verticalmente, seja caindo, subindo ou descendo. A principal força atuante é a gravitacional, e a aceleração devido a essa força é constante, desconsiderando a resistência do ar.

O estudo da queda livre e do lançamento vertical permite prever o tempo de voo, a altura máxima e a velocidade de impacto de diversos objetos, desde uma maçã caindo de uma árvore até o salto de atletas.

Características

As principais características da queda livre e do lançamento vertical são:

• Movimento na Vertical: O objeto se desloca apenas na direção vertical (para cima ou para baixo).
• Aceleração Constante: A aceleração da gravidade (g) é a única aceleração atuante e tem valor aproximado de 9,8 m/s² (ou 10 m/s² para simplificação em exercícios).
• Desprezo da Resistência do Ar: Para simplificar, geralmente consideramos que não há atrito com o ar.
• Movimento Uniformemente Variado (MUV): Por haver aceleração constante, as equações do MUV são aplicadas a esses movimentos.
• Ponto de Retorno (Lançamento Vertical): No ponto mais alto do lançamento vertical, a velocidade do objeto é zero momentaneamente, antes de iniciar o movimento de queda.

Equações da Queda Livre e do Lançamento Vertical

Para descrever a queda livre e o lançamento vertical, utilizamos as equações do Movimento Uniformemente Variado (MUV). É importante definir um referencial (geralmente, para cima é positivo e para baixo é negativo, ou vice-versa, mantendo a consistência).

Posição (Altura)

A altura (h ou s) de um corpo pode ser calculada por:

h = h₀ + v₀t + (1/2)gt²

Onde:

• h: altura final (posição final)
• h₀: altura inicial (posição inicial)
• v₀: velocidade inicial
• t: tempo
• g: aceleração da gravidade (g = -10 m/s² se o referencial positivo for para cima)

Velocidade

A velocidade (v) de um corpo é dada por:

v = v₀ + gt

Onde:

• v: velocidade final
• v₀: velocidade inicial
• g: aceleração da gravidade
• t: tempo

Equação de Torricelli

Relaciona velocidade, altura e aceleração sem depender do tempo:

v² = v₀² + 2gΔh

Onde:

• v: velocidade final
• v₀: velocidade inicial
• g: aceleração da gravidade
• Δh: variação da altura (h - h₀)

Queda Livre

A queda livre é um caso específico de lançamento vertical onde a velocidade inicial (v₀) é zero. O objeto é simplesmente abandonado de uma certa altura.

Características da Queda Livre

• Velocidade inicial nula: v₀ = 0.
• Aceleração: É sempre a aceleração da gravidade (g), dirigida para baixo.
• Velocidade aumenta com o tempo: A cada segundo, a velocidade aumenta proporcionalmente a g.
• Distância percorrida aumenta exponencialmente: A distância percorrida aumenta conforme o quadrado do tempo.

Equações da Queda Livre (com v₀ = 0)

• Posição (Altura): h = h₀ + (1/2)gt² (assumindo h₀ como a altura de onde o objeto é solto e g positivo para baixo).
• Velocidade: v = gt
• Torricelli: v² = 2gΔh

Lançamento Vertical

O lançamento vertical pode ser para cima ou para baixo, e a velocidade inicial (v₀) é diferente de zero.

Lançamento Vertical para Cima

Quando um objeto é lançado verticalmente para cima:

• Velocidade inicial: v₀ > 0.
• Aceleração: A aceleração da gravidade g atua para baixo, de forma a reduzir a velocidade do objeto. Se o referencial positivo for para cima, g é negativo.
• Altura máxima: Atinge a altura máxima quando v = 0.
• Tempo de subida: O tempo para atingir a altura máxima.
• Tempo total de voo: O tempo desde o lançamento até retornar à altura original. O tempo de subida é igual ao tempo de descida (se a resistência do ar for desprezada e o ponto de partida e chegada for o mesmo).

Lançamento Vertical para Baixo

Quando um objeto é lançado verticalmente para baixo:

• Velocidade inicial: v₀ < 0 (se o referencial positivo for para cima) ou v₀ > 0 (se o referencial positivo for para baixo).
• Aceleração: A aceleração da gravidade g atua para baixo, de forma a aumentar a velocidade do objeto no sentido da queda.

Diferença entre Queda Livre e Lançamento Vertical

Exemplo Prático

Considere uma pedra que é abandonada de uma altura de 45 metros. Despreze a resistência do ar e use g = 10 m/s².

1. Qual sua velocidade ao atingir o solo?

Podemos usar a equação de Torricelli: v² = v₀² + 2gΔh.

Como é queda livre, v₀ = 0. Vamos considerar o referencial para baixo como positivo, então g = 10 m/s² e Δh = 45 m.

v² = 0² + 2 * 10 * 45
v² = 900
v = √900
v = 30 m/s

A velocidade da pedra ao atingir o solo é de 30 m/s.

2. Qual o tempo que a pedra leva para atingir o solo?

Podemos usar a equação de velocidade: v = v₀ + gt.

Já sabemos v = 30 m/s e v₀ = 0.

30 = 0 + 10t
30 = 10t
t = 30 / 10
t = 3 s

A pedra leva 3 segundos para atingir o solo.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM PPL 2012)

Um balão de ar quente está subindo, com velocidade constante de 10 m/s, e, em um dado instante, a 40 m do solo, uma pessoa dentro do balão solta uma pequena bola. Considerando a gravidade g = 10 m/s² e desprezando o efeito do ar, a altura máxima atingida pela bola em relação ao solo e sua velocidade ao atingir o solo serão, respectivamente:

• a) 40 m e 10 m/s
• b) 45 m e 30 m/s
• c) 50 m e 20 m/s
• d) 50 m e 30 m/s
• e) 45 m e 20 m/s

Resposta: Alternativa b: Quando a bola é solta, ela tem a mesma velocidade inicial do balão, v₀ = +10 m/s (para cima). A altura inicial é h₀ = 40 m.
Para a altura máxima (onde v = 0), usamos v² = v₀² + 2gh (referencial para cima, g = -10 m/s²):
0² = 10² + 2 * (-10) * Δh
0 = 100 - 20Δh
20Δh = 100
Δh = 5 m
A altura máxima em relação ao solo é h_max = h₀ + Δh = 40 + 5 = 45 m.
Para a velocidade ao atingir o solo, primeiro calculamos o tempo para atingir o solo. Usamos h = h₀ + v₀t + (1/2)gt². Se o solo é h = 0, então:
0 = 40 + 10t + (1/2)(-10)t²
0 = 40 + 10t - 5t²
Dividindo por -5: t² - 2t - 8 = 0.
Resolvendo a equação de 2º grau: t = [ -(-2) ± √((-2)² - 4*1*(-8)) ] / (2*1)
t = [ 2 ± √(4 + 32) ] / 2
t = [ 2 ± √36 ] / 2
t = [ 2 ± 6 ] / 2
Pegando o tempo positivo: t = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 s.
Agora, a velocidade ao atingir o solo: v = v₀ + gt = 10 + (-10)*4 = 10 - 40 = -30 m/s. O sinal negativo indica que a velocidade é para baixo. O módulo da velocidade é 30 m/s.

2. (FEI-SP)

Duas pequenas esferas, 1 e 2, são abandonadas de uma mesma altura h a partir do repouso, em um ambiente onde o atrito com o ar é desprezível. Sabe-se que a massa da esfera 1 é o dobro da massa da esfera 2. Com relação ao tempo de queda e às velocidades com que as esferas atingem o solo, é correto afirmar que:

• a) O tempo de queda da esfera 1 é maior que o da esfera 2, e a velocidade final da esfera 1 é maior que a da esfera 2.
• b) O tempo de queda da esfera 1 é menor que o da esfera 2, e a velocidade final da esfera 1 é menor que a da esfera 2.
• c) Os tempos de queda são iguais, mas a velocidade final da esfera 1 é maior que a da esfera 2.
• d) Os tempos de queda são iguais, e as velocidades finais de ambas as esferas são iguais.
• e) Os tempos de queda são diferentes, mas as velocidades finais de ambas as esferas são iguais.

Resposta: Alternativa d: Em queda livre, desconsiderando a resistência do ar, a aceleração da gravidade é a única força atuante e é constante para todos os objetos, independentemente de sua massa. As equações de movimento (h = h₀ + v₀t + (1/2)gt² e v = v₀ + gt) não dependem da massa. Portanto, se as esferas são abandonadas da mesma altura a partir do repouso, elas atingirão o solo no mesmo tempo e com a mesma velocidade final.