Polígonos regulares

Polígonos Regulares

Um polígono regular é uma figura geométrica plana, fechada, formada por segmentos de reta que se encontram apenas nas extremidades, possuindo todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos internos com a mesma medida.

Essas propriedades de equidade entre lados e ângulos são fundamentais para distinguir os polígonos regulares de outros tipos de polígonos, como os irregulares.

O estudo dos polígonos regulares é recorrente em provas de matemática, especialmente no ENEM e em diversos vestibulares, sendo essencial para a compreensão de conceitos mais avançados de geometria plana.

Características

As principais características dos polígonos regulares são:

• Equilátero: Todos os lados possuem a mesma medida.
• Equiângulo: Todos os ângulos internos possuem a mesma medida.
• Inscritível e Circunscritível: Podem ser inscritos em uma circunferência e podem ter uma circunferência inscrita neles.
• Simetria: Apresentam simetria rotacional e reflexiva.
• Vértices: O número de vértices é igual ao número de lados.

Elementos dos Polígonos Regulares

A estrutura dos polígonos regulares é composta por elementos chave que permitem seus cálculos e análises.

• Centro: Ponto equidistante de todos os vértices e de todos os lados (quando se refere ao apótema).
• Vértice: Ponto de encontro de dois lados consecutivos.
• Lado: Segmento de reta que forma o contorno do polígono.
• Apótema: Segmento de reta que liga o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados, sendo perpendicular a esse lado.
• Raio da circunferência circunscrita (R): Distância do centro do polígono a um de seus vértices.
• Raio da circunferência inscrita (r): Coincide com a medida do apótema.
• Ângulo central: Ângulo formado por dois raios que ligam o centro a vértices consecutivos.
• Ângulo interno: Ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono.
• Ângulo externo: Ângulo adjacente e suplementar ao ângulo interno.

Fórmulas Importantes

O cálculo de ângulos e medidas em polígonos regulares é feito a partir de fórmulas específicas.

Soma dos Ângulos Internos (Si)

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono (regular ou não) com n lados é dada por:

Si = (n – 2) × 180°

Ângulo Interno (ai)

Em um polígono regular, todos os ângulos internos são iguais. Portanto, para encontrar a medida de um único ângulo interno, basta dividir a soma pela quantidade de lados:

ai = ((n – 2) × 180°) / n

Soma dos Ângulos Externos (Se)

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre 360°.

Se = 360°

Ângulo Externo (ae)

Em um polígono regular, todos os ângulos externos são iguais.

ae = 360° / n

Note que o ângulo interno e o ângulo externo de um mesmo vértice são suplementares: ai + ae = 180°.

Ângulo Central (ac)

O ângulo central de um polígono regular é o ângulo formado por dois raios que ligam o centro a vértices consecutivos.

ac = 360° / n

No polígono regular, o ângulo central tem a mesma medida do ângulo externo.

Tipos de Polígonos Regulares

Os polígonos regulares são classificados de acordo com o número de lados.

Triângulo Equilátero (n=3)

É o polígono regular com menor número de lados. Todos os lados são iguais e todos os ângulos internos medem 60°.

Exemplo:

Um terreno triangular que possui todos os lados com 10 metros de comprimento. Cada um dos ângulos internos desse terreno medirá 60°.

Quadrado (n=4)

Todos os lados são iguais e todos os ângulos internos medem 90°.

Exemplo:

Um tabuleiro de xadrez é dividido em casas quadradas. Cada uma dessas casas tem quatro lados de mesma medida e quatro ângulos retos.

Pentágono Regular (n=5)

Possui cinco lados de mesma medida e cinco ângulos internos iguais, cada um medindo 108°.

Exemplo:

A fachada de alguns edifícios modernos pode apresentar formatos pentagonais regulares, onde a simetria é utilizada para design.

Hexágono Regular (n=6)

Possui seis lados de mesma medida e seis ângulos internos iguais, cada um medindo 120°.

Exemplo:

As colmeias das abelhas são formadas por células hexagonais regulares, uma estrutura que otimiza o espaço e a resistência.

Existem ainda heptágonos regulares (7 lados), octógonos regulares (8 lados), etc.

Área e Perímetro

O cálculo da área e do perímetro são aplicações comuns dos polígonos regulares.

Perímetro (P)

O perímetro de um polígono regular é a soma das medidas de todos os seus lados. Como todos os lados são iguais, basta multiplicar a medida de um lado (l) pelo número de lados (n).

P = n × l

Área (A)

A área de um polígono regular pode ser calculada utilizando o apótema (a) e o perímetro (P):

A = (P × a) / 2

Ou, em termos de lado e apótema:

A = ((n × l) × a) / 2

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2022)

Um arquiteto projetou uma praça em formato de um hexágono regular. Se o lado de cada um dos canteiros que formam a praça mede 10 metros, qual a medida do ângulo interno de cada vértice dessa praça?

• a) 60°
• b) 90°
• c) 120°
• d) 150°
• e) 180°

Resposta: Alternativa c: Para um hexágono regular, n=6. Usando a fórmula do ângulo interno: ai = ((6-2) × 180°) / 6 = (4 × 180°) / 6 = 720° / 6 = 120°.

2. (UNICAMP-2021)

Considere um pentágono regular cujo lado mede 5 cm. Qual é a soma dos ângulos internos desse polígono?

• a) 108°
• b) 360°
• c) 540°
• d) 720°
• e) 900°

Resposta: Alternativa c: Para um pentágono regular, n=5. Usando a fórmula da soma dos ângulos internos: Si = (5 – 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.

3. (UFMG-2019)

Um polígono regular tem o ângulo externo medindo 40°. Determine o número de lados desse polígono.

• a) 6 lados
• b) 8 lados
• c) 9 lados
• d) 10 lados
• e) 12 lados

Resposta: Alternativa c: A fórmula do ângulo externo é ae = 360° / n. Se ae = 40°, então 40° = 360° / n. Logo, n = 360° / 40° = 9 lados.