Equação Reduzida da Circunferência
A equação reduzida da circunferência é uma representação algébrica simples e fundamental para descrever geometricamente uma circunferência no plano cartesiano. Ela permite identificar rapidamente o centro e o raio de uma circunferência a partir de seus coeficientes.
Este formato conciso é essencial para a resolução de diversos problemas de geometria analítica, sendo frequentemente cobrado em exames como o ENEM e vestibulares de todo o país. Compreender a dedução e aplicação dessa equação facilita a análise de posições relativas entre pontos, retas e circunferências.
A relevância do estudo da equação reduzida reside na sua aplicabilidade prática em diversas áreas da matemática e em situações-problema que exigem a modelagem de trajetórias circulares.
Características
As principais características da equação reduzida da circunferência são:
- Simplicidade: Formato compacto que facilita a identificação dos elementos da circunferência.
- Centro e Raio Explícitos: Permite extrair diretamente as coordenadas do centro (h, k) e a medida do raio (R).
- Base para Geometria Analítica: É o ponto de partida para a dedução de outras formas da equação da circunferência, como a equação geral.
- Representação Gráfica Fácil: Com o centro e o raio, é simples traçar a circunferência no plano cartesiano.
- Universalidade: Aplica-se a qualquer circunferência, independentemente de sua posição no plano.
Dedução da Equação
A equação reduzida da circunferência é deduzida a partir da fórmula da distância entre dois pontos. Considera-se a definição de circunferência como o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância (raio) de um ponto fixo (centro).
O Ponto Fixo (Centro) e o Raio
Seja um ponto C = (h, k) o centro da circunferência e R o seu raio. Um ponto qualquer P = (x, y) pertence à circunferência se a distância entre C e P for igual a R.
Fórmula da Distância
A fórmula da distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada por:
d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
Aplicando essa fórmula para os pontos C = (h, k) e P = (x, y), e sabendo que a distância d é igual ao raio R, temos:
R = √[(x – h)² + (y – k)²]
Elevando ao Quadrado
Para eliminar a raiz quadrada e chegar à forma reduzida, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
R² = (x – h)² + (y – k)²
Esta é a equação reduzida da circunferência.
Estrutura
A estrutura da equação reduzida da circunferência é composta por três elementos fundamentais:
- (x – h)²: representa o quadrado da diferença entre a coordenada x do ponto genérico da circunferência e a coordenada x do centro.
- (y – k)²: representa o quadrado da diferença entre a coordenada y do ponto genérico da circunferência e a coordenada y do centro.
- R²: representa o quadrado do raio da circunferência.
Exemplo de Aplicação
Para compreender melhor, veja o exemplo abaixo:
Exemplo:
Encontre a equação reduzida da circunferência que possui centro no ponto C = (2, -3) e raio R = 5.
Resolução:
Utilizamos a fórmula da equação reduzida da circunferência:
(x – h)² + (y – k)² = R²
Onde:
h = 2 (coordenada x do centro)
k = -3 (coordenada y do centro)
R = 5 (raio)
Substituindo esses valores na equação, obtemos:
(x – 2)² + (y – (-3))² = 5²
(x – 2)² + (y + 3)² = 25
Assim, a equação reduzida da circunferência é (x – 2)² + (y + 3)² = 25.
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2022)
Uma circunferência tem seu centro no ponto (4, -1) e passa pelo ponto (1, 3). Qual é a equação reduzida dessa circunferência?
- a) (x – 4)² + (y + 1)² = 25
- b) (x + 4)² + (y – 1)² = 25
- c) (x – 1)² + (y – 3)² = 5
- d) (x – 4)² + (y + 1)² = 5
- e) (x + 4)² + (y – 1)² = 5
Resposta: Alternativa a: Primeiramente, calculamos o raio R que é a distância entre o centro (4, -1) e o ponto (1, 3).
R² = (1 – 4)² + (3 – (-1))²
R² = (-3)² + (4)²
R² = 9 + 16
R² = 25
Portanto, R = 5.
Com o centro (h, k) = (4, -1) e R² = 25, a equação reduzida é (x – 4)² + (y – (-1))² = 25, que simplifica para (x – 4)² + (y + 1)² = 25.
2. (UNESP-2021)
A equação (x + 3)² + (y – 5)² = 49 representa uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e a medida do raio dessa circunferência.
- a) Centro (-3, 5) e Raio 7
- b) Centro (3, -5) e Raio 7
- c) Centro (-3, 5) e Raio 49
- d) Centro (3, -5) e Raio 49
- e) Centro (3, 5) e Raio 7
Resposta: Alternativa a: Comparando a equação dada (x + 3)² + (y – 5)² = 49 com a forma geral (x – h)² + (y – k)² = R², temos:
x – h = x + 3 ⇒ -h = 3 ⇒ h = -3
y – k = y – 5 ⇒ -k = -5 ⇒ k = 5
R² = 49 ⇒ R = √49 ⇒ R = 7
Assim, o centro é (-3, 5) e o raio é 7.