Progressões aritméticas
Progressões Aritméticas (PA) são sequências numéricas em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante ao termo anterior. Essa constante é chamada de razão da PA.
Em termos mais simples, imagine uma lista de números que cresce ou diminui sempre na mesma proporção. Essa proporção constante é a chave para entender e trabalhar com progressões aritméticas.
As PAs são um conceito fundamental na álgebra e aparecem com frequência em problemas de matemática, física e em questões de vestibulares e do ENEM, sendo essencial dominá-las para uma boa resolução.
Características das Progressões Aritméticas
As principais características de uma Progressão Aritmética são:
- Razão Constante (r): A diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma.
- Termos: São os números que compõem a sequência. O primeiro termo é geralmente denotado por $a_1$.
- Ordem: A sequência possui uma ordem definida, onde cada termo ocupa uma posição específica.
- Crescente, Decrescente ou Constante: Dependendo do valor da razão ($r$), a PA pode ser crescente ($r > 0$), decrescente ($r < 0$) ou constante ($r = 0$).
Estrutura de uma Progressão Aritmética
A estrutura de uma PA é definida por sua lei de formação, que nos permite calcular qualquer termo da sequência. A fórmula geral do termo geral de uma PA é:
$a_n = a_1 + (n-1)r$
Onde:
- $a_n$ é o termo geral que queremos encontrar (o n-ésimo termo).
- $a_1$ é o primeiro termo da sequência.
- $n$ é a posição do termo na sequência.
- $r$ é a razão da progressão.
Com esta fórmula, é possível determinar um termo específico da PA se soubermos o primeiro termo, a razão e a posição desejada.
Tipos de Progressões Aritméticas
As Progressões Aritméticas podem ser classificadas com base na sua razão:
PA Crescente
Uma PA é crescente quando sua razão ($r$) é positiva. Cada termo subsequente é maior que o termo anterior.
Exemplo:
A sequência 2, 5, 8, 11, 14, … é uma PA crescente, pois a razão é $r = 5 – 2 = 3$, que é um valor positivo.
PA Decrescente
Uma PA é decrescente quando sua razão ($r$) é negativa. Cada termo subsequente é menor que o termo anterior.
Exemplo:
A sequência 10, 8, 6, 4, 2, … é uma PA decrescente, pois a razão é $r = 8 – 10 = -2$, que é um valor negativo.
PA Constante
Uma PA é constante quando sua razão ($r$) é igual a zero. Todos os termos da sequência são iguais.
Exemplo:
A sequência 7, 7, 7, 7, 7, … é uma PA constante, pois a razão é $r = 7 – 7 = 0$.
Diferença entre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
É comum confundir Progressões Aritméticas (PA) com Progressões Geométricas (PG). A principal distinção reside na forma como os termos subsequentes são obtidos:
| Aspecto | Progressão Aritmética (PA) | Progressão Geométrica (PG) |
|---|---|---|
| Operação | Soma de uma razão constante ($r$) | Multiplicação por uma razão constante ($q$) |
| Fórmula Geral | $a_n = a_1 + (n-1)r$ | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ |
| Exemplo | 3, 6, 9, 12… ($r=3$) | 3, 6, 12, 24… ($q=2$) |
Enquanto a PA adiciona um valor fixo a cada passo, a PG multiplica por um fator fixo.
Exemplos de Progressões Aritméticas
Para entender melhor o conceito, vejamos alguns exemplos práticos:
Exemplo 1: Encontrando a razão
Considere a sequência 5, 10, 15, 20, 25. Qual é a razão dessa PA? Para encontrar a razão, subtraímos um termo pelo seu antecessor:
$r = 10 – 5 = 5$
$r = 15 – 10 = 5$
$r = 20 – 15 = 5$
Portanto, a razão ($r$) é 5.
Exemplo 2: Calculando um termo específico
Qual é o 10º termo de uma PA cujo primeiro termo ($a_1$) é 4 e a razão ($r$) é 3? Usamos a fórmula do termo geral: $a_n = a_1 + (n-1)r$. Queremos o 10º termo, então $n=10$:
$a_{10} = 4 + (10-1) \cdot 3$
$a_{10} = 4 + (9) \cdot 3$
$a_{10} = 4 + 27$
$a_{10} = 31$
O 10º termo é 31.
Exemplo 3: Sequência de Economia
Uma pessoa começa a guardar R$ 20,00 na primeira semana, R$ 25,00 na segunda semana, R$ 30,00 na terceira semana e assim por diante. Quanto essa pessoa guardará na 15ª semana? Esta é uma PA com $a_1 = 20$ e $r = 25 – 20 = 5$. Queremos o 15º termo ($n=15$).
$a_{15} = a_1 + (n-1)r$
$a_{15} = 20 + (15-1) \cdot 5$
$a_{15} = 20 + (14) \cdot 5$
$a_{15} = 20 + 70$
$a_{15} = 90$
Na 15ª semana, a pessoa guardará R$ 90,00.
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2022) Uma pessoa tem um plano de saúde que prevê um reajuste anual do valor da mensalidade. O valor inicial da mensalidade é de R$ 500,00. O reajuste anual é de R$ 30,00. Qual será o valor da mensalidade após 10 anos?
- a) R$ 770,00
- b) R$ 790,00
- c) R$ 800,00
- d) R$ 820,00
- e) R$ 830,00
Resposta: Alternativa b: O primeiro termo ($a_1$) é R$ 500,00. A razão ($r$) é R$ 30,00. Queremos o valor após 10 anos, que corresponde ao 11º termo da sequência (considerando o ano inicial como o 1º termo). Assim, $n=11$.
$a_{11} = 500 + (11-1) \cdot 30$
$a_{11} = 500 + 10 \cdot 30$
$a_{11} = 500 + 300$
$a_{11} = 800$.
*Correção: O problema pede o valor APÓS 10 anos. Se o valor inicial é R$ 500,00 (ano 0), após 1 ano será R$ 530,00 (ano 1). Portanto, após 10 anos, teremos 10 reajustes, o que corresponde ao 11º termo da série se considerarmos o $a_1$ como o valor inicial. No entanto, se $a_1$ é o valor inicial (R$ 500,00), após 1 ano temos o 2º termo ($a_2$). Então após 10 anos teremos o 11º termo ($a_{11}$). Vamos refazer com a interpretação mais comum de problemas assim: $a_1 = 500$ e $r=30$. Para o valor após 10 anos, precisamos calcular o 11º termo: $a_{11} = 500 + (11-1)*30 = 500 + 10*30 = 500 + 300 = 800$.
Houve um erro na minha resposta inicial e no cálculo do gabarito. Vamos recalcular o gabarito com atenção.
O valor inicial é R$ 500,00. Este é o termo $a_1$.
O reajuste anual é de R$ 30,00. Esta é a razão ($r$).
Queremos o valor da mensalidade APÓS 10 anos. Isso significa que teremos tido 10 reajustes.
Se o valor inicial é R$ 500,00 (ano 0 ou $a_1$), após 1 ano o valor será R$ 500 + R$ 30 (ano 1 ou $a_2$).
Após 2 anos, será R$ 500 + 2*R$ 30 (ano 2 ou $a_3$).
Portanto, após 10 anos, o valor será R$ 500 + 10*R$ 30.
$a_{11} = 500 + (10) \times 30 = 500 + 300 = 800$.
O gabarito correto seria c) R$ 800,00.
2. (VESTIBULAR-2021) Uma escada tem 10 degraus. O primeiro degrau tem 20 cm de altura e cada degrau subsequente tem 2 cm a mais de altura que o degrau anterior. Qual a altura do último degrau?
- a) 36 cm
- b) 38 cm
- c) 40 cm
- d) 42 cm
- e) 44 cm
Resposta: Alternativa b: Temos uma PA onde o primeiro termo ($a_1$) é 20 cm e a razão ($r$) é 2 cm. Queremos encontrar a altura do último degrau, que é o 10º degrau, portanto $n=10$.
$a_{10} = a_1 + (n-1)r$
$a_{10} = 20 + (10-1) \cdot 2$
$a_{10} = 20 + (9) \cdot 2$
$a_{10} = 20 + 18$
$a_{10} = 38$ cm.
O último degrau tem 38 cm de altura.