Valor esperado em probabilidades

Valor esperado em probabilidades

O valor esperado em probabilidades, também conhecido como esperança matemática, é a média ponderada dos possíveis resultados de um experimento aleatório. Ele representa o valor médio que se espera obter a longo prazo, caso o experimento seja repetido muitas vezes.

Esse conceito é fundamental em áreas como finanças, jogos de azar e análise de risco, pois permite quantificar o resultado médio de eventos incertos. Em vestibulares e no ENEM, o valor esperado é frequentemente cobrado em questões que envolvem decisões baseadas em probabilidades.

Compreender o valor esperado ajuda a tomar decisões mais informadas, avaliando se o risco de uma aposta ou investimento compensa o retorno médio esperado. É uma ferramenta poderosa para analisar situações com múltiplos resultados possíveis e suas respectivas probabilidades de ocorrência.

Características do Valor Esperado

As principais características do valor esperado são:

• Média ponderada: Cada resultado possível é multiplicado pela sua probabilidade de ocorrência.
• Não necessariamente um resultado possível: O valor esperado pode não ser um dos valores que o evento pode realmente assumir. Por exemplo, o valor esperado do número de filhos em uma família pode ser 2,3, que não é um número possível de filhos.
• Interpretação a longo prazo: Representa o valor médio que se obteria se o experimento fosse repetido infinitas vezes.
• Aplicações diversas: Usado em jogos, finanças, seguros, medicina e muitas outras áreas para tomada de decisão sob incerteza.
• Linearidade: O valor esperado da soma de duas variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados de cada uma, e o valor esperado de uma constante vezes uma variável é a constante vezes o valor esperado.

Fórmula do Valor Esperado

O valor esperado de uma variável aleatória discreta é calculado somando o produto de cada resultado possível pela sua probabilidade de ocorrência.

Variável Aleatória Discreta

Para uma variável aleatória discreta X que pode assumir os valores x₁, x₂, …, x_n com probabilidades P(X=x₁), P(X=x₂), …, P(X=x_n) respectivamente, a fórmula do valor esperado E(X) é:

E(X) = x₁ · P(X=x₁) + x₂ · P(X=x₂) + … + x_n · P(X=x_n)

Que pode ser representada pela somatória:

E(X) = ∑_i=1ⁿ x_i · P(X=x_i)

Onde:

• x_i é o i-ésimo resultado possível.
• P(X=x_i) é a probabilidade de ocorrer o resultado x_i.
• ∑ indica a soma de todos os termos.

Como Calcular o Valor Esperado

Para calcular o valor esperado, siga os seguintes passos:

1. Identifique todos os resultados possíveis do experimento aleatório.
2. Determine a probabilidade de ocorrência de cada um desses resultados.
3. Multiplique cada resultado pela sua respectiva probabilidade.
4. Some todos os produtos obtidos no passo anterior. O resultado dessa soma será o valor esperado.

Exemplo de Valor Esperado

Para compreender melhor, veja o exemplo abaixo:

Exemplo:

Um cassino oferece um jogo onde você paga R$ 10,00 para jogar. Você joga um dado de seis faces. Se sair o número 6, você ganha R$ 50,00. Se sair o número 5, você ganha R$ 20,00. Se sair qualquer outro número (1, 2, 3 ou 4), você não ganha nada. Qual é o valor esperado (lucro/prejuízo) por jogada?

Solução:

1. Resultados e probabilidades de ganho:
   • Sair 6: Ganho de R$ 50,00. Probabilidade = 1/6.
   • Sair 5: Ganho de R$ 20,00. Probabilidade = 1/6.
   • Sair 1, 2, 3 ou 4: Ganho de R$ 0,00. Probabilidade = 4/6.
2. Custo da jogada: R$ 10,00.
3. Definindo o lucro (X) para cada resultado:
   • Se sair 6: Lucro = R$ 50,00 (ganho) – R$ 10,00 (custo) = R$ 40,00.
   • Se sair 5: Lucro = R$ 20,00 (ganho) – R$ 10,00 (custo) = R$ 10,00.
   • Se sair 1, 2, 3 ou 4: Lucro = R$ 0,00 (ganho) – R$ 10,00 (custo) = -R$ 10,00.
4. Calculando o valor esperado (E(X)):

   E(X) = (40 · 1/6) + (10 · 1/6) + (-10 · 4/6)

   E(X) = 40/6 + 10/6 – 40/6

   E(X) = (40 + 10 – 40)/6

   E(X) = 10/6

   E(X) ≈ R$ 1,67

Nesse exemplo, o valor esperado de lucro por jogada é de aproximadamente R$ 1,67. Isso significa que, a longo prazo, se você jogar esse jogo muitas vezes, espera-se que você ganhe em média R$ 1,67 por jogada.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2022)

Uma rifa foi organizada com 100 bilhetes, numerados de 1 a 100. O prêmio para o bilhete sorteado é de R$ 500,00. Cada bilhete custa R$ 10,00. Qual o valor esperado de lucro para quem compra um bilhete?

• a) R$ 5,00
• b) R$ 0,00
• c) -R$ 5,00
• d) R$ 10,00
• e) -R$ 10,00

Resposta: Alternativa c:
Existem 100 bilhetes.
Probabilidade de ganhar = 1/100.
Probabilidade de perder = 99/100.
Se ganhar, o lucro é R$ 500,00 (prêmio) – R$ 10,00 (custo) = R$ 490,00.
Se perder, o lucro é -R$ 10,00 (perde o valor do bilhete).
Valor esperado = (490 * 1/100) + (-10 * 99/100)
Valor esperado = 490/100 – 990/100
Valor esperado = (490 – 990) / 100
Valor esperado = -500 / 100
Valor esperado = -R$ 5,00.

2. (FUVEST-2021)

Em um jogo de cassino, um jogador aposta R$ 20,00 em um número de 1 a 6. Se o número apostado for sorteado em um dado justo, ele ganha R$ 100,00. Caso contrário, perde os R$ 20,00 apostados. Qual o valor esperado do lucro do jogador a cada aposta?

• a) R$ 10,00
• b) R$ 0,00
• c) -R$ 3,33
• d) -R$ 20,00
• e) R$ 20,00

Resposta: Alternativa c:
Probabilidade de ganhar (acertar o número) = 1/6.
Probabilidade de perder (errar o número) = 5/6.
Se ganhar, o lucro é R$ 100,00 (ganho) – R$ 20,00 (aposta) = R$ 80,00.
Se perder, o lucro é -R$ 20,00 (perde a aposta).
Valor esperado = (80 * 1/6) + (-20 * 5/6)
Valor esperado = 80/6 – 100/6
Valor esperado = (80 – 100) / 6
Valor esperado = -20 / 6
Valor esperado = -10 / 3
Valor esperado ≈ -R$ 3,33.