Questões de trigonometria para vestibular

Questões de trigonometria para vestibular

A Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Essencialmente, ela foca nos triângulos retângulos e nas funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente), mas suas aplicações se estendem por diversas áreas do conhecimento.

No contexto dos vestibulares e do ENEM, a trigonometria é um tema recorrente, sendo cobrada tanto em questões diretas que envolvem o cálculo de medidas em triângulos, quanto em problemas que exigem a interpretação de gráficos de funções trigonométricas ou a aplicação de identidades. Dominar esse conteúdo é fundamental para garantir pontos importantes e uma boa performance nas provas.

Este artigo apresenta uma série de questões de trigonometria, com gabarito e justificativa, para auxiliar na sua preparação. As questões abordam diferentes tópicos e níveis de dificuldade, focando nos conceitos mais relevantes para os exames de admissão.

Conceitos Fundamentais da Trigonometria

Para resolver as questões de trigonometria, é crucial ter clareza sobre os conceitos básicos. A trigonometria no triângulo retângulo é o ponto de partida, definindo as razões trigonométricas principais.

Triângulo Retângulo

Um triângulo retângulo possui um ângulo interno de 90 graus. Os lados são nomeados em relação a um dos ângulos agudos (diferente do ângulo reto):

• Hipotenusa: o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior lado.
• Cateto Oposto: o lado oposto ao ângulo agudo de referência.
• Cateto Adjacente: o lado que toca o ângulo agudo de referência, mas não é a hipotenusa.

Razões Trigonométricas

As três razões trigonométricas básicas são:

• Seno (sen): É a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
• Cosseno (cos): É a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
• Tangente (tg): É a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Além dessas, o ciclo trigonométrico e as funções periódicas também são frequentemente abordados, assim como identidades trigonométricas e equações.

Exercícios de trigonometria para vestibular com Gabarito

A seguir, apresentamos questões de trigonometria para vestibular e ENEM, cobrindo diferentes aspectos da matéria.

1. (ENEM-2022)

Uma rampa para acesso de veículos possui inclinação de 30º em relação ao solo. Sabendo que o comprimento horizontal da rampa é de 8 metros, qual é a altura vertical da rampa, em metros?

• a) $4\sqrt{3}$
• b) $8\sqrt{3}/3$
• c) $4$
• d) $8$
• e) $8\sqrt{3}$

Resposta: Alternativa b:

Para resolver esta questão, podemos usar a função tangente, que relaciona o cateto oposto (altura da rampa) com o cateto adjacente (comprimento horizontal).
Seja h a altura da rampa.
$\tan(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{h}{8}$
Sabemos que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Então, $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{8}$.
Multiplicando ambos os lados por 8, obtemos $h = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ metros.

2. (UNESP-2021)

Um observador, situado no ponto A de uma praça, avista o topo de um edifício sob um ângulo de 60° com a horizontal. Afastando-se 20 metros em linha reta do edifício, até o ponto B, o observador passa a avistar o topo do mesmo edifício sob um ângulo de 30° com a horizontal. Qual a altura do edifício? (Use $\sqrt{3} \approx 1,73$)

• a) $10\sqrt{3}$ m
• b) $20\sqrt{3}$ m
• c) $10$ m
• d) $20$ m
• e) $15$ m

Resposta: Alternativa a:

Seja H a altura do edifício e x a distância horizontal inicial do observador ao edifício.
Do ponto A: $\tan(60^\circ) = \frac{H}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{x} \implies H = x\sqrt{3}$. (Equação 1)
Do ponto B: A distância do observador ao edifício é x + 20.
$\tan(30^\circ) = \frac{H}{x+20} \implies \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{H}{x+20} \implies H = \frac{\sqrt{3}(x+20)}{3}$. (Equação 2)
Substituindo (1) em (2):
$x\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}(x+20)}{3}$
Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$ (assumindo $\sqrt{3} \neq 0$):
$x = \frac{x+20}{3}$
$3x = x+20$
$2x = 20$
$x = 10$ m.
Agora, substituímos x de volta na Equação 1 para encontrar H:
$H = 10\sqrt{3}$ m.

3. (FUVEST-2020)

Em um triângulo ABC, o ângulo A mede 60°, o lado AB mede 4 e o lado AC mede 6. A área desse triângulo é:

• a) $6\sqrt{3}$
• b) $12\sqrt{3}$
• c) $6$
• d) $12$
• e) $24$

Resposta: Alternativa a:

A área de um triângulo pode ser calculada pela fórmula $Área = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen(\theta)$, onde a e b são os comprimentos de dois lados do triângulo e θ é o ângulo entre esses dois lados.
Neste caso, $a = AB = 4$, $b = AC = 6$ e o ângulo $\theta = A = 60^\circ$.
Sabemos que $\sen(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$Área = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sen(60^\circ)$
$Área = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$Área = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$Área = 6\sqrt{3}$.

4. (FGV-2019)

Em um terreno plano, um topógrafo mede a distância entre dois pontos A e B como sendo 100 m. De um ponto C, ele observa os pontos A e B de tal forma que o ângulo BCA mede 60°. Sabendo que o ângulo CAB mede 45°, qual é a distância de B a C?

• a) $50\sqrt{6}$ m
• b) $50\sqrt{2}$ m
• c) $100\sqrt{2}$ m
• d) $100\sqrt{6}/3$ m
• e) $100\sqrt{3}$ m

Resposta: Alternativa d:

Podemos usar a Lei dos Senos para resolver este problema. A Lei dos Senos afirma que em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante.

Temos os seguintes dados:
Lado AB = 100 m
Ângulo C = 60°
Ângulo A = 45°

Para usar a Lei dos Senos, precisamos do ângulo B. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Ângulo B = 180° – Ângulo A – Ângulo C
Ângulo B = 180° – 45° – 60° = 75°.

A Lei dos Senos nos dá:
$\frac{BC}{\sen(A)} = \frac{AB}{\sen(C)}$
$\frac{BC}{\sen(45^\circ)} = \frac{100}{\sen(60^\circ)}$

Sabemos que $\sen(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sen(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$BC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 100 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
$BC \cdot \sqrt{2} = \frac{200}{\sqrt{3}}$
$BC = \frac{200}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}$
$BC = \frac{200}{\sqrt{6}}$

Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por $\sqrt{6}$:

$BC = \frac{200\sqrt{6}}{6}$
$BC = \frac{100\sqrt{6}}{3}$ m.

5. (UEL-2018)

Um engenheiro projeta uma ponte que ligará as margens de um rio. Para determinar a largura do rio (distância entre os pontos P e Q), ele fixou um ponto R na margem, de forma que PR fosse perpendicular a PQ. Em seguida, mediu o ângulo PRQ, que foi de 60°, e a distância PR, que foi de 50 metros. Qual a largura do rio?

• a) $25\sqrt{3}$ m
• b) $50\sqrt{3}$ m
• c) $25$ m
• d) $50$ m
• e) $100$ m

Resposta: Alternativa b:

Neste problema, temos um triângulo retângulo PQR, com o ângulo reto em P.
A largura do rio é a distância PQ, que é o cateto oposto ao ângulo R.
A distância PR é o cateto adjacente ao ângulo R.
Usaremos a função tangente, que relaciona o cateto oposto e o cateto adjacente.

$\tan(R) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$
$\tan(60^\circ) = \frac{PQ}{PR}$
Sabemos que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ e PR = 50 metros.
$\sqrt{3} = \frac{PQ}{50}$
$PQ = 50\sqrt{3}$ metros.

6. (UERJ-2017)

Um ciclista percorre 20 km em uma estrada plana e, em seguida, vira à direita e percorre mais 15 km em uma estrada perpendicular à primeira. Qual é a distância, em linha reta, entre o ponto de partida e o ponto de chegada do ciclista?

• a) $25$ km
• b) $30$ km
• c) $35$ km
• d) $40$ km
• e) $45$ km

Resposta: Alternativa a:

Como as estradas são perpendiculares, a trajetória do ciclista forma um triângulo retângulo. A distância em linha reta entre o ponto de partida e o ponto de chegada é a hipotenusa desse triângulo.
Podemos usar o Teorema de Pitágoras: $hipotenusa^2 = cateto_1^2 + cateto_2^2$.
Seja d a distância procurada.
$d^2 = 20^2 + 15^2$
$d^2 = 400 + 225$
$d^2 = 625$
$d = \sqrt{625}$
$d = 25$ km.