Questões comentadas de probabilidade

Questões comentadas de probabilidade

A probabilidade é o ramo da matemática que estuda a chance de um determinado evento ocorrer. Ela nos permite quantificar a incerteza de situações do cotidiano e de fenômenos científicos.

Entender probabilidade é fundamental para diversas áreas, desde a tomada de decisões simples até análises complexas em estatística, economia e ciências. É um tema frequentemente cobrado em provas como o ENEM e diversos vestibulares, exigindo o domínio das fórmulas e princípios básicos.

Dominar as técnicas de resolução de problemas de probabilidade é crucial para alcançar um bom desempenho nesses exames. Este artigo apresentará diversas questões comentadas, focando em diferentes conceitos e aplicações.

Conceitos Fundamentais em Probabilidade

Antes de mergulhar nas questões, é importante revisar os conceitos básicos que sustentam o cálculo de probabilidades.

• Espaço Amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
• Evento (E): É qualquer subconjunto do espaço amostral, ou seja, um ou mais resultados específicos do experimento.
• Probabilidade de um Evento (P(E)): É a razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis no espaço amostral, dado por P(E) = (Número de casos favoráveis) / (Número total de casos)

Propriedades da Probabilidade

Conhecer as propriedades da probabilidade facilita muito a resolução de problemas.

• A probabilidade de qualquer evento é um número entre 0 e 1 (inclusive). 0 ≤ P(E) ≤ 1
• A probabilidade de um evento impossível é 0.
• A probabilidade de um evento certo é 1.
• Probabilidade da União de Eventos (A ou B): P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Probabilidade da Interseção de Eventos (A e B): Para eventos independentes, P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
• Probabilidade Condicional (A dado B): P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Exemplos Práticos de Aplicação

A probabilidade está presente em diversas situações, desde jogos de azar até análises de risco.

Exemplo do Lançamento de um Dado

Considere o lançamento de um dado comum de seis faces.

Espaço Amostral (S): {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Total de 6 resultados possíveis)

Evento (E): Sair um número par.

Casos favoráveis ao evento E: {2, 4, 6} (Total de 3 casos)

Cálculo da Probabilidade: P(E) = 3 / 6 = 1/2 = 0,5 ou 50%

A probabilidade de sair um número par ao lançar um dado é de 50%.

Questões comentadas de probabilidade

Prepare-se para o ENEM e diversos vestibulares com as questões de probabilidade comentadas abaixo.

1. (ENEM 2022)

Uma seletiva para a final de uma competição de natação será disputada por oito atletas. Desses atletas, cinco são brasileiros e três são estrangeiros. Para essa seletiva, os atletas serão distribuídos em duas raias de blocos de partida. A raia 1 terá cinco atletas e a raia 2 terá três atletas. Sabendo que em cada raia a distribuição dos atletas é feita por sorteio, qual a probabilidade de todos os atletas brasileiros ficarem na raia 1?

• a) 5/8
• b) 1/56
• c) 1/28
• d) 5/14
• e) 1/70

Resposta: Alternativa b: Para resolver este problema, precisamos determinar o número total de maneiras de distribuir os atletas e o número de maneiras em que todos os atletas brasileiros fiquem na raia 1.

O número total de atletas é 8, e 5 serão selecionados para a raia 1 (os 3 restantes irão para a raia 2). A ordem não importa, então usamos combinações.

Número total de maneiras de distribuir os atletas: C(8, 5) = 8! / (5! * 3!) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56.

Agora, queremos que todos os 5 atletas brasileiros fiquem na raia 1. Isso significa que as 5 vagas da raia 1 serão preenchidas pelos 5 brasileiros. Há apenas 1 maneira de escolher os 5 brasileiros entre os 5 disponíveis (C(5, 5) = 1). Os 3 atletas estrangeiros, por sua vez, deverão obrigatoriamente preencher as 3 vagas da raia 2 (C(3, 3) = 1).

Portanto, o número de casos favoráveis é 1 × 1 = 1.

A probabilidade de todos os atletas brasileiros ficarem na raia 1 é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis: P = 1 / 56.

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2. (UNESP 2023)

Em um programa de auditório, há uma urna com bolas numeradas de 1 a 10. O participante pode retirar uma bola, sem reposição, e depois outra bola. Qual é a probabilidade de que a soma dos números nas duas bolas retiradas seja par?

• a) 2/9
• b) 4/9
• c) 1/2
• d) 5/9
• e) 7/9

Resposta: Alternativa b: Para que a soma dos números nas duas bolas seja par, as seguintes combinações são possíveis:

1. Ambas as bolas são pares (Par + Par = Par)
2. Ambas as bolas são ímpares (Ímpar + Ímpar = Par)

Na urna, temos 10 bolas:

• Números pares: {2, 4, 6, 8, 10} (5 bolas)
• Números ímpares: {1, 3, 5, 7, 9} (5 bolas)

Cenário 1: Duas bolas pares

• Probabilidade de a primeira bola ser par: 5/10
• Após retirar uma bola par, sobram 9 bolas, sendo 4 pares.
• Probabilidade de a segunda bola ser par (dado que a primeira foi par): 4/9
• Probabilidade de ambas serem pares: (5/10) × (4/9) = 20/90 = 2/9

Cenário 2: Duas bolas ímpares

• Probabilidade de a primeira bola ser ímpar: 5/10
• Após retirar uma bola ímpar, sobram 9 bolas, sendo 4 ímpares.
• Probabilidade de a segunda bola ser ímpar (dado que a primeira foi ímpar): 4/9
• Probabilidade de ambas serem ímpares: (5/10) × (4/9) = 20/90 = 2/9

A probabilidade de a soma ser par é a soma das probabilidades desses dois cenários, pois são eventos mutuamente exclusivos:

P(soma par) = P(par + par) + P(ímpar + ímpar) = 2/9 + 2/9 = 4/9.

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3. (FUVEST 2021)

Em um escritório, há 3 mesas, e em cada mesa cabem 2 funcionários. Sabendo que 6 funcionários (3 homens e 3 mulheres) devem ser distribuídos nessas mesas, qual a probabilidade de que em cada mesa fique um homem e uma mulher?

• a) 1/20
• b) 1/15
• c) 1/10
• d) 1/5
• e) 1/3

Resposta: 2/5 (nenhuma das alternativas): Este problema pode ser resolvido calculando o número total de maneiras de distribuir os funcionários e o número de maneiras que satisfazem a condição desejada.

Espaço amostral: Considere as 6 posições de cadeiras como distintas.

O número total de maneiras de as 6 pessoas se sentarem nas 6 posições é 6! = 720.

No entanto, a ordem das pessoas dentro de cada mesa não importa, então dividimos pelo número de permutações dentro de cada mesa (2! * 2! * 2! = 8).

Isso nos dá 720 / 8 = 90 maneiras de formar os grupos em mesas distintas, onde a ordem dos lugares dentro da mesa não importa.

Casos favoráveis: Cada mesa deve ter um homem e uma mulher.

• Para a primeira mesa: C(3,1) escolhas para o homem e C(3,1) escolhas para a mulher. Total = 3 * 3 = 9.
• Para a segunda mesa: C(2,1) escolhas para o homem e C(2,1) escolhas para a mulher. Total = 2 * 2 = 4.
• Para a terceira mesa: C(1,1) escolhas para o homem e C(1,1) escolhas para a mulher. Total = 1 * 1 = 1.

Número de casos favoráveis = 9 * 4 * 1 = 36.

A probabilidade seria 36 / 90 = 2/5, que não está entre as alternativas.

O valor correto é 2/5, que não consta entre as alternativas apresentadas.