Questões comentadas de álgebra

Questões comentadas de álgebra

Questões comentadas de álgebra são exercícios resolvidos e explicados detalhadamente para facilitar a compreensão de conceitos algébricos, como equações, inequações, funções e progressões.

Este tipo de material é extremamente útil para estudantes do Ensino Médio, vestibulandos e candidatos ao ENEM, pois permite a aplicação prática dos conhecimentos teóricos e o aprimoramento das habilidades de resolução de problemas.

Dominar a álgebra é fundamental para o sucesso em exames de admissão, já que muitos conceitos de outras áreas da matemática dependem dessa base sólida.

Características

As principais características das questões comentadas de álgebra são:

• Enunciados claros: Apresentam o problema de forma concisa e compreensível.
• Resolução passo a passo: Detalham cada etapa da solução, explicando o raciocínio aplicado.
• Comentários didáticos: Justificam os métodos utilizados e as propriedades algébricas envolvidas.
• Variedade de tópicos: Abrangem diferentes subtemas da álgebra, como equações do 1º e 2º grau, sistemas, funções e sequências.
• Foco em exames: Muitas vezes são extraídas de provas anteriores do ENEM e vestibulares, preparando o estudante para o formato das questões.

Estrutura das questões comentadas

A estrutura típica de uma questão comentada de álgebra é composta por:

• Enunciado: A descrição do problema ou situação.
• Alternativas: Opções de resposta em questões de múltipla escolha.
• Explicação da Resolução: O caminho lógico e matemático para chegar à resposta correta. Esta etapa é crucial para o aprendizado.
• Resposta: A alternativa ou valor final correto.
• Justificativa/Comentário: Um breve esclarecimento sobre por que a resposta está correta e por que as outras opções podem estar erradas, ou um reforço do conceito-chave.

Tipos de questões de álgebra

As questões de álgebra podem abordar diversos tópicos. Os principais tipos são: equações, inequações, sistemas lineares, funções e progressões.

Questões de Equações

Envolvem encontrar o valor de uma ou mais variáveis que tornam uma igualdade verdadeira. Podem ser de 1º, 2º grau ou superiores.

Exemplo:

Resolva a equação do 2º grau x² – 5x + 6 = 0.

Para resolver essa equação, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.

Identificando os coeficientes: a=1, b=−5, c=6.

Calculando o discriminante Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.

Aplicando na fórmula: x = (−(−5) ± √1) / (2 · 1) = (5 ± 1) / 2.

As raízes são: x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3 e x₂ = (5 − 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Solução: x = 2 ou x = 3.

Questões de Inequações

Buscam valores de variáveis que satisfazem uma desigualdade (maior que, menor que, maior ou igual, menor ou igual). O resultado geralmente é um intervalo.

Exemplo:

Resolva a inequação 2x + 3 > 7.

Para isolar a variável x, subtraímos 3 de ambos os lados da inequação:
2x + 3 − 3 > 7 − 3
2x > 4

Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 (um número positivo, então a desigualdade não muda):
(2x) / 2 > 4 / 2
x > 2

Solução: O conjunto solução é {x ∈ ℝ | x > 2}, ou em notação de intervalo (2, +∞).

Sistemas de Equações Lineares

Consistem em um conjunto de duas ou mais equações com duas ou mais variáveis, onde se busca um conjunto de valores que satisfaça simultaneamente todas as equações do sistema.

Exemplo:

Resolva o sistema de equações:

{
  x + y = 5
  x − y = 1
}

Podemos resolver pelo método da adição. Somando as duas equações:
(x + y) + (x − y) = 5 + 1
2x = 6
x = 6 / 2
x = 3

Agora, substituímos o valor de x na primeira equação:
3 + y = 5
y = 5 − 3
y = 2

Solução: x = 3 e y = 2.

Exercícios com Gabarito

A seguir, veja alguns exemplos de questões de álgebra com seus respectivos comentários, semelhantes às encontradas em exames como o ENEM e vestibulares.

1. (ENEM-2022)

Uma padaria vende pães de queijo e broas. No balcão, foi anotado que, em um dia, a soma do número de pães de queijo e broas vendidas foi 150. Sabe-se que o pão de queijo custa R$ 2,00 e a broa custa R$ 2,50, e o total arrecadado com as vendas desses dois produtos foi R$ 330,00. Representando por P o número de pães de queijo e por B o número de broas, o sistema de equações que representa essa situação é:

• a) {
    P + B = 150
    2P + 2,5B = 330
  }
• b) {
    P + B = 330
    2P + 2,5B = 150
  }
• c) {
    P + B = 150
    2,5P + 2B = 330
  }
• d) {
    P · B = 150
    2P + 2,5B = 330
  }
• e) {
    P + B = 150
    P/2 + B/2,5 = 330
  }

Resposta: Alternativa a: A primeira informação é que “a soma do número de pães de queijo (P) e broas (B) vendidas foi 150″, o que nos dá a equação P + B = 150. A segunda informação é sobre o custo e o total arrecadado: P pães de queijo a R$ 2,00 cada e B broas a R$ 2,50 cada, totalizando R$ 330,00. Isso resulta na equação 2P + 2,5B = 330. Juntando as duas, formamos o sistema da alternativa (a).

2. (VUNESP-2023)

Considere a inequação 3(x − 1) ≤ 2x + 7. O conjunto solução dessa inequação, para x real, é:

• a) x ≤ 8
• b) x ≤ 10
• c) x ≥ 8
• d) x ≥ 10
• e) x ≤ −10

Resposta: Alternativa b: Para resolver 3(x − 1) ≤ 2x + 7, primeiro distribuímos o 3: 3x − 3 ≤ 2x + 7. Em seguida, isolamos os termos com x em um lado e os termos constantes no outro. Subtraímos 2x de ambos os lados: 3x − 2x − 3 ≤ 7 ⇒ x − 3 ≤ 7. Agora, adicionamos 3 a ambos os lados: x − 3 + 3 ≤ 7 + 3 ⇒ x ≤ 10. Portanto, o conjunto solução é x ≤ 10.

3. (FUVEST-2021)

Seja x um número real tal que (2x − 1) / (x + 3) = 3. Qual é o valor de x?

• a) −10
• b) −8
• c) −5
• d) 5
• e) 10

Resposta: Alternativa a: Para resolver a equação (2x − 1) / (x + 3) = 3, primeiro devemos garantir que o denominador x+3 seja diferente de zero, ou seja, x ≠ −3. Multiplicamos ambos os lados por (x+3): 2x − 1 = 3(x + 3). Distribuímos o 3: 2x − 1 = 3x + 9. Agora, organizamos a equação para isolar x. Subtraímos 2x de ambos os lados: −1 = 3x − 2x + 9 ⇒ −1 = x + 9. Por fim, subtraímos 9 de ambos os lados: −1 − 9 = x ⇒ x = −10. O valor de x=−10 não torna o denominador zero, então é uma solução válida.

4. (UERJ-2020)

Uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c tem raízes x₁ = 2 e x₂ = −3. Se o ponto (0, −12) pertence ao gráfico de f(x), então o valor do coeficiente a é:

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) 4
• e) 5

Resposta: Alternativa b: Se as raízes são x₁=2 e x₂=−3, a função quadrática pode ser escrita na forma fatorada f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Substituindo as raízes: f(x) = a(x − 2)(x − (−3)) = a(x − 2)(x + 3).

O ponto (0, −12) pertence ao gráfico, o que significa que f(0) = −12.

Substituímos x=0 e f(x)=−12 na forma fatorada:
−12 = a(0 − 2)(0 + 3)
−12 = a(−2)(3)
−12 = −6a
a = −12 / −6
a = 2.

5. (ENEM-2019)

Um reservatório de água tem capacidade para 1000 litros. Ele está inicialmente com 200 litros de água. Para enchê-lo completamente, uma torneira é aberta e despeja 50 litros de água por minuto. Qual é a expressão algébrica que representa o volume V de água no reservatório em função do tempo t (em minutos), considerando que o volume máximo não será ultrapassado?

• a) V(t) = 50t
• b) V(t) = 200 + 50t
• c) V(t) = 1000 − 50t
• d) V(t) = 1000 + 50t
• e) V(t) = 200t + 50

Resposta: Alternativa b: O volume inicial de água no reservatório é de 200 litros. A torneira despeja 50 litros de água por minuto, o que significa que a quantidade de água adicionada após t minutos é 50t. O volume total V(t) em função do tempo t será a soma do volume inicial com o volume adicionado pela torneira. Portanto, V(t) = 200 + 50t.