Progressões geométricas
Progressões geométricas (PG) são sequências numéricas onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constante chamada razão.
Essas sequências são fundamentais na álgebra e aparecem em diversos contextos, desde o crescimento populacional até cálculos financeiros, sendo um tópico recorrente em vestibulares e no ENEM.
Compreender as progressões geométricas permite resolver problemas que envolvem crescimento ou decaimento exponencial e entender padrões multiplicativos.
Características das Progressões Geométricas
As principais características de uma progressão geométrica são:
- Razão constante (q): A relação entre um termo e seu antecessor é sempre a mesma.
- Crescimento ou decrescimento exponencial: Dependendo do valor da razão, a PG pode crescer muito rapidamente ou decair de forma acentuada.
- Termo geral: Existe uma fórmula que permite calcular qualquer termo da PG sem precisar listar todos os anteriores.
- Soma dos termos: Há fórmulas específicas para calcular a soma de um número finito ou infinito de termos.
Estrutura de uma Progressão Geométrica
A estrutura de uma PG é definida pelos seguintes elementos:
- Primeiro termo ($a_1$): O termo inicial da sequência.
- Razão ($q$): O fator multiplicativo constante entre termos consecutivos.
- Número de termos ($n$): A quantidade total de elementos na sequência (em PGs finitas).
- Termo geral ($a_n$): A fórmula que define o n-ésimo termo da sequência.
Tipos de Progressões Geométricas
As progressões geométricas podem ser classificadas de acordo com o valor de sua razão ($q$):
PG Crescente
Uma PG é crescente quando:
- $a_1 > 0$ e $q > 1$
- $a_1 < 0$ e $0 < q < 1$
Exemplo:
A sequência 2, 6, 18, 54, … é uma PG crescente. Aqui, $a_1 = 2$ e a razão $q = 3$. Cada termo é 3 vezes maior que o anterior.
PG Decrescente
Uma PG é decrescente quando:
- $a_1 > 0$ e $0 < q < 1$
- $a_1 < 0$ e $q > 1$
Exemplo:
A sequência 100, 50, 25, 12.5, … é uma PG decrescente. Aqui, $a_1 = 100$ e a razão $q = 0.5$. Cada termo é metade do anterior.
PG Alternada (ou Oscilante)
Uma PG é alternada quando a razão $q$ é negativa ($q < 0$). Os sinais dos termos se alternam. Exemplo:
A sequência 3, -6, 12, -24, … é uma PG alternada. Aqui, $a_1 = 3$ e a razão $q = -2$.
PG Constante
Uma PG é constante quando a razão $q = 1$. Todos os termos são iguais.
Exemplo:
A sequência 5, 5, 5, 5, … é uma PG constante. Aqui, $a_1 = 5$ e a razão $q = 1$.
Fórmula do Termo Geral
A fórmula para calcular o n-ésimo termo ($a_n$) de uma progressão geométrica é:
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
Onde:
- $a_n$ é o termo que queremos encontrar.
- $a_1$ é o primeiro termo.
- $q$ é a razão.
- $n$ é a posição do termo na sequência.
Soma dos Termos de uma PG
Soma dos n primeiros termos ($S_n$)
Para uma PG finita, a soma dos $n$ primeiros termos é dada por:
$S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n – 1)}{q – 1}$, se $q \neq 1$.
Se $q = 1$, a soma é simplesmente $S_n = n \cdot a_1$.
Soma dos Termos de uma PG Infinita Convergente ($S_{\infty}$)
Uma PG infinita converge (tem uma soma finita) se o valor absoluto da razão $|q|$ for menor que 1 ($|q| < 1$). Nesses casos, a soma é dada por: $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q}$
Diferença entre Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG)
É comum confundir PA e PG, mas suas regras de formação são distintas.
| Aspecto | Progressão Aritmética (PA) | Progressão Geométrica (PG) |
|---|---|---|
| Operação | Adição/Subtração | Multiplicação/Divisão |
| Constante | Razão (d) | Razão (q) |
| Termo Geral | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ |
| Soma dos termos | $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ | $S_n = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ |
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2022) Uma quantia de R$ 1.000,00 é aplicada em um regime de juros compostos com taxa de 5% ao mês. Qual será o valor dessa aplicação após 3 meses?
- a) R$ 1.000,00 * (1,05)^2
- b) R$ 1.000,00 * (1,05)^3
- c) R$ 1.000,00 + 3 * (0,05)
- d) R$ 1.000,00 * (0,05)^3
- e) R$ 1.000,00 + (1,05)^3
Resposta: Alternativa b: Esta é uma situação de crescimento exponencial, onde o valor a cada mês é multiplicado pela taxa de 1,05 (100% + 5%). Após 3 meses, o valor será $a_3 = a_1 \cdot q^3$, onde $a_1 = 1000$ e $q = 1,05$.
2.
(VUNESP-2021) Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 4 e a razão é 2. Qual é o quinto termo dessa progressão?
- a) 16
- b) 32
- c) 64
- d) 128
- e) 256
Resposta: Alternativa c: Utilizando a fórmula do termo geral $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, temos $a_1 = 4$, $q = 2$ e $n = 5$. Portanto, $a_5 = 4 \cdot 2^{5-1} = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64$.
3.
(ENEM-2019) A soma dos termos de uma progressão geométrica infinita é 10. Se o primeiro termo é 2, qual é o valor da razão dessa progressão?
- a) 1/5
- b) 2/5
- c) 3/5
- d) 4/5
- e) 1
Resposta: Alternativa d: Usamos a fórmula da soma de uma PG infinita: $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 – q}$. Sabemos que $S_{\infty} = 10$ e $a_1 = 2$. Assim, $10 = \frac{2}{1 – q}$. Resolvendo para $q$: $10(1 – q) = 2 \implies 10 – 10q = 2 \implies 8 = 10q \implies q = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.