Produtos notáveis: quadrado da soma – segredos e aplicações

Produtos notáveis: quadrado da soma

O quadrado da soma é um dos produtos notáveis mais importantes da álgebra, utilizado para simplificar expressões e fatorar polinômios. Ele representa o produto de dois termos somados, elevados ao quadrado.

Este conceito é fundamental para o estudo da matemática no Ensino Fundamental II, Ensino Médio e é frequentemente cobrado em vestibulares e no ENEM, sendo uma ferramenta essencial para resolver problemas de diversas áreas.

A compreensão do quadrado da soma permite agilizar cálculos e desenvolver habilidades de raciocínio algébrico, facilitando a resolução de equações e inequações.

Características

As principais características do quadrado da soma são:

• É um caso particular de produto notável, onde uma soma de dois termos é elevada ao quadrado.
• A fórmula é sempre a mesma: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
• Simplifica a multiplicação de binômios iguais.
• É a base para a fatoração de trinômios quadrados perfeitos.
• Permite expandir expressões algébricas de forma eficiente.

Estrutura

A estrutura do produto notável “quadrado da soma” é composta por:

• Dois termos: representados por ‘a’ e ‘b’.
• Sinal de adição: os termos estão sendo somados.
• Exponenciação ao quadrado: toda a soma é elevada ao expoente 2.

A fórmula que resume essa estrutura é $(a+b)^2$.

Como Desenvolver o Quadrado da Soma

Para desenvolver o quadrado da soma, basta aplicar a fórmula $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Vamos entender cada parte:

$(a+b)^2$

Isso significa $(a+b) \times (a+b)$. Podemos resolver usando a propriedade distributiva (chuveirinho):

• Multiplique o primeiro termo do primeiro parêntese pelo primeiro e segundo termos do segundo parêntese: $a \times a = a^2$ e $a \times b = ab$.
• Multiplique o segundo termo do primeiro parêntese pelo primeiro e segundo termos do segundo parêntese: $b \times a = ba$ e $b \times b = b^2$.

Somando os resultados, temos: $a^2 + ab + ba + b^2$. Como $ab$ e $ba$ são termos semelhantes (ambos são $ab$), podemos combiná-los: $ab + ba = 2ab$.

Portanto, a fórmula final é:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ou seja, o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos de Quadrado da Soma

Para compreender melhor, veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1: Desenvolver $(x+5)^2$

Aqui, $a = x$ e $b = 5$. Aplicando a fórmula $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$
$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$

No exemplo acima, identificamos o primeiro termo ($x$) e o segundo termo ($5$), aplicamos a fórmula e simplificamos a expressão.

Exemplo 2: Desenvolver $(2y+3)^2$

Neste caso, $a = 2y$ e $b = 3$. Aplicando a fórmula:

$(2y+3)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 3^2$
$(2y+3)^2 = 4y^2 + 12y + 9$

Observe que o primeiro termo $(2y)$ foi elevado ao quadrado como um todo, resultando em $4y^2$.

Exemplo 3: Desenvolver $(3a+4b)^2$

Aqui, $a = 3a$ e $b = 4b$. Aplicando a fórmula:

$(3a+4b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (4b) + (4b)^2$
$(3a+4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2$

Este exemplo mostra como a regra se aplica mesmo quando os termos contêm variáveis e coeficientes diferentes.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2018 – adaptada)

A expressão algébrica que representa o quadrado da soma de $x$ e $7$ é:

• a) $x^2 + 49$
• b) $x^2 + 7x + 49$
• c) $x^2 + 14x + 49$
• d) $x^2 + 14$
• e) $2x + 14$

Resposta: Alternativa c: O quadrado da soma de $x$ e $7$ é $(x+7)^2$. Aplicando a fórmula $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, temos $x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$.

2. (OBMEP – adaptada)

O desenvolvimento do produto notável $(3m + n)^2$ é:

• a) $9m^2 + n^2$
• b) $3m^2 + 6mn + n^2$
• c) $9m^2 + 3mn + n^2$
• d) $9m^2 + 6mn + n^2$
• e) $6m + 2n$

Resposta: Alternativa d: Utilizando a fórmula $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, onde $a = 3m$ e $b = n$. Temos $(3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2 = 9m^2 + 6mn + n^2$.

3. (VUNESP – adaptada)

Se $a+b = 10$ e $a^2 + b^2 = 58$, qual o valor de $ab$?

• a) 12
• b) 21
• c) 24
• d) 42
• e) 48

Resposta: Alternativa b: Sabemos que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Substituindo os valores dados: $(10)^2 = 58 + 2ab$. Então, $100 = 58 + 2ab$. Subtraindo 58 de ambos os lados, $42 = 2ab$. Dividindo por 2, $ab = 21$.