Múltiplos e divisores
Múltiplos e divisores são conceitos fundamentais na matemática, especialmente na aritmética, que descrevem relações entre números inteiros. Eles são essenciais para a compreensão de operações como a fatoração, cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC).
Esses conceitos são abordados desde o Ensino Fundamental e têm aplicações constantes no Ensino Médio, sendo cobrados em diversas questões de vestibulares e do ENEM. Compreender múltiplos e divisores é a base para solucionar problemas que envolvem repartições, agrupamentos e periodicidade.
A relevância de múltiplos e divisores se estende à resolução de situações cotidianas, contribuindo para o desenvolvimento do raciocínio lógico e matemático.
O que são Múltiplos?
Os múltiplos de um número inteiro são os resultados da multiplicação desse número por qualquer outro número inteiro. De maneira simplificada, são os números que pertencem à “tabuada” do número em questão.
Como encontrar os múltiplos
Para encontrar os múltiplos de um número natural, basta multiplicá-lo sucessivamente pelos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, …).
Exemplo:
Os múltiplos de 7 são:
- 7 × 0 = 0
- 7 × 1 = 7
- 7 × 2 = 14
- 7 × 3 = 21
- 7 × 4 = 28
- …
Assim, o conjunto dos múltiplos de 7 é M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, …}.
Características dos Múltiplos
- O zero (0) é múltiplo de todo número.
- Todo número é múltiplo de si mesmo.
- Os múltiplos de um número natural são infinitos.
O que são Divisores?
Os divisores de um número inteiro são aqueles números que, ao dividirem o número original, resultam em um resto igual a zero. Em outras palavras, um número é divisor de outro se a divisão for exata.
Como encontrar os divisores
Para encontrar os divisores de um número, podemos testar as divisões por números inteiros a partir de 1, até que o quociente comece a se repetir, ou utilizar a fatoração em números primos.
Exemplo:
Para encontrar os divisores de 12:
- 12 ÷ 1 = 12 (1 e 12 são divisores)
- 12 ÷ 2 = 6 (2 e 6 são divisores)
- 12 ÷ 3 = 4 (3 e 4 são divisores)
- 12 ÷ 4 = 3 (Já encontrado, 4 e 3)
Assim, o conjunto dos divisores de 12 é D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Características dos Divisores
- O número 1 é divisor de todo número natural.
- Todo número natural é divisor de si mesmo.
- Os divisores de um número natural são finitos.
- O zero não é divisor de nenhum número.
Critérios de Divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são regras que nos permitem verificar rapidamente se um número é divisível por outro sem a necessidade de realizar a divisão completa.
Principais Critérios
| Divisor | Critério |
|---|---|
| 2 | O número é par (termina em 0, 2, 4, 6 ou 8). |
| 3 | A soma dos algarismos é um múltiplo de 3. |
| 4 | Os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 ou terminam em 00. |
| 5 | O número termina em 0 ou 5. |
| 6 | O número é divisível por 2 e por 3 simultaneamente. |
| 9 | A soma dos algarismos é um múltiplo de 9. |
| 10 | O número termina em 0. |
Exemplo:
O número 72 é divisível por:
- 2: Sim, porque termina em 2 (é par).
- 3: Sim, porque 7+2=9, que é múltiplo de 3.
- 4: Sim, porque 72 é divisível por 4 (72 ÷ 4 = 18).
- 6: Sim, porque é divisível por 2 e por 3.
- 9: Sim, porque 7+2=9, que é múltiplo de 9.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor múltiplo positivo comum a esses números, excluindo o zero.
Como calcular o MMC
- Liste os múltiplos de cada número e identifique o menor múltiplo comum (método por listagem).
- Use a fatoração prima simultânea (método mais eficiente).
Exemplo:
Calcular o MMC entre 6 e 8.
Método por listagem:
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …}
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, …}
O menor múltiplo comum (diferente de zero) é 24.Fatoração prima simultânea:
6, 8 | 2
3, 4 | 2
3, 2 | 2
3, 1 | 3
1, 1 |MMC(6, 8) = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.
Máximo Divisor Comum (MDC)
O Máximo Divisor Comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior divisor comum a todos esses números.
Como calcular o MDC
- Liste os divisores de cada número e identifique o maior divisor comum (método por listagem).
- Use a fatoração prima (método mais eficiente). O MDC é o produto dos fatores primos comuns, elevados à sua menor potência.
Exemplo:
Calcular o MDC entre 12 e 18.
Método por listagem:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
O maior divisor comum é 6.Fatoração prima:
12 = 2² × 3¹
18 = 2¹ × 3²Os fatores primos comuns são 2 e 3.
MDC(12, 18) = 2¹ × 3¹ = 2 × 3 = 6. (Pegamos o menor expoente de cada fator comum)
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM)
Uma pessoa possui uma coleção de figurinhas e decide organizá-las em álbuns. Ao tentar agrupá-las de 6 em 6, sobram 2 figurinhas. Ao tentar agrupá-las de 8 em 8, sobram as mesmas 2 figurinhas. Sabendo que o número de figurinhas é maior que 50 e menor que 100, qual é o total de figurinhas?
- a) 50
- b) 62
- c) 74
- d) 86
- e) 98
Resposta: Alternativa b: Se sobram 2 figurinhas ao agrupar de 6 em 6 e de 8 em 8, significa que o número de figurinhas (N) é múltiplo de 6 e de 8, mais 2. Primeiro, encontra-se o MMC(6, 8) = 24. Os múltiplos de 24 são 24, 48, 72, 96, … . Somando 2: 26, 50, 74, 98, … . O número maior que 50 e menor que 100 é 74. Assim, 74 ÷ 6 = 12 (resto 2) e 74 ÷ 8 = 9 (resto 2).
2. (OBMEP)
Qual é o maior número de pacotes com a mesma quantidade de lápis que podemos formar, utilizando 120 lápis azuis e 150 lápis vermelhos, sem que sobre nenhum lápis e sem misturar as cores dos lápis dentro de um mesmo pacote?
- a) 10
- b) 20
- c) 30
- d) 40
- e) 50
Resposta: Alternativa c: O problema pede o maior número de pacotes, ou seja, o maior número que divide 120 e 150 simultaneamente. Isso é o MDC entre 120 e 150.
D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
D(150) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150}
O maior divisor comum é 30.
Utilizando fatoração:
120 = 2³ × 3¹ × 5¹
150 = 2¹ × 3¹ × 5²
MDC(120, 150) = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 30.