Funções compostas
Funções compostas, também conhecidas como composição de funções, são uma operação fundamental no estudo da matemática, especialmente no campo do cálculo e da análise. Elas consistem em aplicar uma função ao resultado de outra função.
Em essência, a composição de funções nos permite construir novas funções a partir de funções já existentes, explorando a ideia de “função de função”. Essa ferramenta é extremamente poderosa para modelar situações mais complexas e resolver problemas que envolvem múltiplas etapas de transformação.
O estudo das funções compostas é crucial para alunos do Ensino Médio e vestibulandos, pois o conceito aparece com frequência em provas como o ENEM e outros vestibulares, tanto em questões diretas quanto como base para outros tópicos matemáticos.
O que são Funções Compostas?
Uma função composta é formada pela aplicação de uma função ao resultado de outra. Se temos duas funções, digamos f e g, a composição de f com g (denotada por f ˆ g) é uma nova função que, para um dado valor x, calcula primeiro g(x) e, em seguida, aplica a função f ao resultado obtido.
Matematicamente, a função composta (f ˆ g)(x) é definida como f(g(x)). Isso significa que o domínio da função externa (f) deve ser capaz de receber os valores do contradomínio da função interna (g).
É importante notar que a ordem da composição importa. Geralmente, (f ˆ g)(x) é diferente de (g ˆ f)(x).
Notação e Definição Formal
A notação para funções compostas é (f ˆ g)(x), que se lê como “f composta com g de x” ou “f de g de x”.
A definição formal é: Dadas duas funções f: A → B e g: B → C, a função composta f ˆ g: A → C é definida por:
(f ˆ g)(x) = f(g(x)) para todo x ∈ A.
Nesta definição:
- x pertence ao domínio da função interna g.
- g(x) é o resultado da aplicação de g a x, e pertence ao contradomínio de g (que é o domínio de f).
- f(g(x)) é o resultado final da aplicação de f ao resultado de g(x).
Domínio e Contradomínio
O domínio de uma função composta (f ˆ g)(x) é o conjunto de todos os valores de x no domínio de g tais que g(x) esteja no domínio de f. Em símbolos:
Dom(f ˆ g) = {x ∈ Dom(g) | g(x) ∈ Dom(f)}
O contradomínio de (f ˆ g) é o contradomínio da função externa f, considerando os valores que g(x) pode assumir.
Como Calcular Funções Compostas
Para calcular uma função composta (f ˆ g)(x), siga estes passos:
- Identifique as funções f(x) e g(x): Tenha clareza sobre qual é a função que será aplicada por dentro e qual será aplicada por fora.
- Substitua a variável da função externa: Na expressão da função externa (neste caso, f(x)), substitua cada ocorrência da variável independente (geralmente x) pela expressão completa da função interna (g(x)).
- Exercite a expressão resultante: Realize as operações algébricas necessárias para simplificar a nova expressão.
Vamos ilustrar com um exemplo.
Exemplo 1: Sejam f(x) = 2x + 3 e g(x) = x^2. Calcule (f ˆ g)(x) e (g ˆ f)(x).
Cálculo de (f ˆ g)(x): Neste caso, f é a função externa e g é a função interna. Substituímos x em f(x) por g(x) = x^2:
(f ˆ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2)
f(x^2) = 2(x^2) + 3
Portanto, (f ˆ g)(x) = 2x^2 + 3.
Cálculo de (g ˆ f)(x): Neste caso, g é a função externa e f é a função interna. Substituímos x em g(x) por f(x) = 2x + 3:
(g ˆ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3)
g(2x + 3) = (2x + 3)^2
Portanto, (g ˆ f)(x) = (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9.
Observe que (f ˆ g)(x) ≠ (g ˆ f)(x).
Exemplos Práticos
As funções compostas são utilizadas em diversas áreas, desde a engenharia até a economia. Veja um exemplo mais aplicado:
Exemplo 2: Uma loja de roupas está oferecendo um desconto de 20% em todas as peças. Além disso, há uma promoção especial onde, em compras acima de R$ 150,00, o cliente ganha um brinde no valor de R$ 25,00.
Vamos modelar essa situação com funções. Seja p o preço original de uma peça. Seja d(p) a função que calcula o preço após o desconto de 20%:
d(p) = p – 0.20p = 0.80p
Seja b(x) uma função que representa o “valor líquido” percebido pelo cliente, considerando o preço com desconto e a adição do valor percebido do brinde. Suponhamos que o brinde só é dado para compras acima de R$ 150,00, mas para simplificar nosso cálculo de função composta, vamos considerar que o brinde tem um “valor de troca” de R$ 25,00 e queremos calcular o valor total efetivo após desconto e o “benefício” do brinde.
Vamos criar uma função v(x) que representa o valor percebido pelo cliente, considerando o desconto e a “vantagem” do brinde. Imagine que o brinde seja um item que o cliente teria que pagar R$ 25,00 por ele separadamente.
Seja x o preço original. A função desconto é D(x) = 0.8x. Agora, queremos calcular o preço “final” percebido pelo cliente, considerando que ele ganha um brinde de R$ 25,00. Podemos pensar em duas formas de compor isso:
Cenário A: Preço com desconto, depois adicionamos o valor do brinde. Neste caso, o preço já está com desconto. Se adicionarmos o valor do brinde ao que o cliente paga, não faz sentido como função composta direta de preço.
Vamos reformular o problema para que a composição seja clara: Suponha que f(x) representa o preço de um item após um aumento de 10% e g(x) representa um desconto de R$ 5,00.
Seja o preço original x. Aumento de 10%: f(x) = x + 0.10x = 1.1x. Desconto de R$ 5,00: g(x) = x – 5.
Calcular (f ˆ g)(x):
(f ˆ g)(x) = f(g(x)) = f(x – 5) = 1.1(x – 5) = 1.1x – 5.5. Isso significa que, primeiro aplicamos o desconto e depois o aumento de 10%. O resultado é um aumento de 10% sobre o preço com desconto, subtraindo R$ 5,50 do preço original.
Calcular (g ˆ f)(x):
(g ˆ f)(x) = g(f(x)) = g(1.1x) = 1.1x – 5. Isso significa que, primeiro aplicamos o aumento de 10% e depois o desconto de R$ 5,00. O resultado é um aumento de 10% sobre o preço original, subtraindo R$ 5,00.
Este exemplo mostra como a ordem das operações (funções) pode alterar o resultado final.
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2021) Seja f uma função definida por f(x) = x – 4, e g uma função definida por g(x) = x^2. A função composta (g ˆ f)(x) é dada por:
- a) x^2 – 4
- b) x^2 – 16
- c) (x-4)^2
- d) x^2 – 8x + 16
- e) x^2 – 8x + 4
Resposta: Alternativa c: Para calcular (g ˆ f)(x), substituímos x na função g(x) pela expressão de f(x). Assim, g(f(x)) = g(x-4) = (x-4)^2.
2. (Vestibular-X) Dadas as funções h(x) = 3x + 1 e k(x) = \frac{x}{2}. Qual é a expressão para (h ˆ k)(x)?
- a) \frac{3x}{2} + 1
- b) \frac{3x+1}{2}
- c) \frac{3x+2}{2}
- d) \frac{x}{6} + 1
- e) 3x + \frac{1}{2}
Resposta: Alternativa a: Para calcular (h ˆ k)(x), substituímos x na função h(x) pela expressão de k(x). Assim, h(k(x)) = h(\frac{x}{2}) = 3(\frac{x}{2}) + 1 = \frac{3x}{2} + 1.
3. (ENEM-2020) Uma pessoa tem um salário base de R$ 1.200,00. Ela recebe um bônus de 5% sobre as vendas realizadas. Além disso, para cada conjunto vendido, ela recebe um adicional de R$ 3,00.
Seja S(v) a função do salário total em função do valor de vendas v, e A(c) a função que adiciona R$ 3,00 por conjunto vendido c.
Vamos considerar um cenário onde o bônus é calculado primeiro e depois adicionamos o valor por conjunto. Suponha que v seja o valor total das vendas. O bônus é B(v) = 0.05v. O salário total seria: Salario(v) = 1200 + B(v) = 1200 + 0.05v.
Agora, se além do bônus, houver um adicional por conjunto vendido. Precisamos relacionar vendas com conjuntos. Suponhamos que cada conjunto vendido represente R$ 100,00 em vendas. Então, o número de conjuntos c é c = v/100. O adicional por conjunto é A(c) = 3c.
Queremos calcular o salário total considerando o bônus e o adicional por conjunto. Vamos simplificar o problema para focar na composição.
Seja f(x) = x + 10 (um aumento) e g(x) = 2x (dobro). Calcule (f ˆ g)(x) e (g ˆ f)(x).
- a) (f ˆ g)(x) = 2x + 10, (g ˆ f)(x) = 2x + 20
- b) (f ˆ g)(x) = 2x + 10, (g ˆ f)(x) = 2x + 10
- c) (f ˆ g)(x) = 2x + 20, (g ˆ f)(x) = 2x + 10
- d) (f ˆ g)(x) = 2x + 10, (g ˆ f)(x) = 2(x + 10)
- e) (f ˆ g)(x) = 2(x + 10), (g ˆ f)(x) = 2x + 10
Resposta: Alternativa a: Para (f ˆ g)(x): f(g(x)) = f(2x) = 2x + 10. Para (g ˆ f)(x): g(f(x)) = g(x + 10) = 2(x + 10) = 2x + 20.