Função quadrática no cotidiano

Função quadrática no cotidiano

A função quadrática é uma ferramenta matemática poderosa, caracterizada por um polinômio de segundo grau, que desempenha um papel fundamental na descrição e na análise de diversos fenômenos do mundo real.

Ela é geralmente expressa na forma f(x) = ax² + bx + c, onde ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são coeficientes reais, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola, cuja concavidade (abertura para cima ou para baixo) depende do sinal do coeficiente ‘a’.

A compreensão da função quadrática é essencial para estudantes que se preparam para vestibulares e o ENEM, pois ela é frequentemente cobrada em questões que envolvem modelagem matemática de situações práticas.

Características da função quadrática

A função quadrática, também conhecida como função polinomial de 2º grau, possui características bem definidas que a distinguem de outros tipos de funções.

• Grau 2: É uma função polinomial cujo maior expoente da variável independente x é 2.
• Gráfico parabólico: Sua representação gráfica é sempre uma parábola. A parábola pode ter concavidade para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0).
• Vértice: Toda parábola possui um ponto de máximo ou mínimo, chamado vértice, que é crucial para otimização em problemas práticos.
• Raízes (zeros da função): São os valores de x para os quais f(x) = 0. Eles representam os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Uma função quadrática pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real (dupla) ou nenhuma raiz real.
• Eixo de simetria: A parábola é simétrica em relação a uma linha vertical que passa pelo seu vértice.

Elementos da parábola

A parábola, gráfico da função quadrática, possui elementos específicos que são importantes para sua análise.

• Vértice (V): É o ponto de retorno da parábola, onde ela muda de direção. Suas coordenadas são dadas por x_V = -b/(2a) e y_V = -Δ/(4a), onde Δ = b² – 4ac. Este ponto representa o valor máximo ou mínimo da função.
• Raízes (x₁, x₂): São os valores de x para os quais f(x) = 0. Podem ser encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara: x = [-b ± √Δ] / (2a).
• Coeficiente c: Representa o ponto onde a parábola intercepta o eixo y. Isso ocorre quando x = 0, então f(0) = c.
• Concavidade: Determinada pelo coeficiente a. Se a > 0, a concavidade é para cima. Se a < 0, a concavidade é para baixo.

Exemplos de função quadrática no cotidiano

A função quadrática modela uma vasta gama de situações reais, desde a física até a economia.

Trajetória de projéteis

A função quadrática é amplamente utilizada para descrever a trajetória de objetos lançados, como uma bola de basquete, um dardo ou um projétil de artilharia.

Exemplo:

Um jogador de basquete lança a bola para a cesta. A altura h da bola (em metros) em relação ao tempo t (em segundos) pode ser modelada pela função h(t) = -5t² + 10t + 2.

Nesse exemplo, a parábola tem concavidade para baixo (a = -5 < 0), indicando que a bola sobe até um ponto máximo e depois desce. O vértice da parábola representaria a altura máxima que a bola atinge.

Otimização de áreas

Em problemas de engenharia e arquitetura, a função quadrática ajuda a otimizar o uso de materiais para cercar áreas ou construir estruturas.

Exemplo:

Um fazendeiro quer cercar um terreno retangular usando 100 metros de cerca. Para maximizar a área do terreno, quais devem ser suas dimensões?
Se um lado do retângulo mede x metros, o outro lado medirá (100 – 2x)/2 = 50 – x metros (considerando a cerca para três lados se um muro é usado, ou 100 – 2x para o outro lado se forem 4 lados). A área A seria A(x) = x(50 – x) = 50x – x².
Esta é uma função quadrática com a = -1. O valor máximo da área ocorre no vértice da parábola.

A função A(x) = -x² + 50x tem a = -1, b = 50 e c = 0. O x_V = -50 / (2 · -1) = 25. As dimensões seriam 25m por 25m, resultando em um quadrado de 625 m², a maior área possível para um perímetro de 100m.

Custos e lucros em economia

Empresas usam funções quadráticas para modelar custos de produção, receitas e lucros, buscando otimizar suas operações.

Exemplo:

Uma empresa produz x unidades de um produto. O custo total C(x) é dado por C(x) = x² – 60x + 1000. O preço de venda de cada unidade é P = 100 – x. A receita R(x) é x · P = x(100 – x) = 100x – x².
O lucro L(x) é a receita menos o custo: L(x) = R(x) – C(x) = (100x – x²) – (x² – 60x + 1000) = -2x² + 160x – 1000.
Para encontrar o número de unidades que maximiza o lucro, basta encontrar o vértice dessa função quadrática.

Formato de antenas parabólicas

As antenas parabólicas e os faróis de carros são projetados com base no formato de uma parábola, aproveitando suas propriedades de reflexão para concentrar sinais ou luz.

Exemplo:

A seção transversal de uma antena parabólica pode ser descrita por uma função quadrática y = ax². O foco da parábola é o ponto onde o receptor do sinal deve ser colocado para captar os sinais de forma mais eficiente.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2022)

Uma piscina infantil foi construída com formato retangular e profundidade constante. Para otimizar a área de lazer, a prefeitura da cidade decidiu que a piscina teria 60 metros de perímetro e deveria ter a maior área possível. Qual deve ser a medida de um dos lados da piscina para que sua área seja máxima?

• a) 10 metros
• b) 15 metros
• c) 20 metros
• d) 25 metros
• e) 30 metros

Resposta: Alternativa b: Se o perímetro é 60m, e os lados são x e y, então 2x + 2y = 60, o que implica x + y = 30, ou y = 30 – x. A área A(x) = x · y = x(30 – x) = -x² + 30x. Para encontrar o x que maximiza a área, calculamos a coordenada x do vértice: x_V = -b/(2a) = -30/(2 · -1) = 15. Portanto, um dos lados deve medir 15 metros.

2. (VUNESP-2021)

A trajetória de um projétil lançado a partir do solo é dada pela função h(t) = -2t² + 12t, onde h(t) é a altura em metros e t é o tempo em segundos após o lançamento. Qual é a altura máxima atingida por esse projétil?

• a) 10 metros
• b) 12 metros
• c) 18 metros
• d) 24 metros
• e) 36 metros

Resposta: Alternativa c: A altura máxima é o valor y do vértice da parábola. A função é h(t) = -2t² + 12t, então a = -2 e b = 12. Primeiro, calculamos o tempo em que a altura máxima é atingida: t_V = -b/(2a) = -12/(2 · -2) = -12/(-4) = 3 segundos. Agora, substituímos t=3 na função para encontrar a altura máxima: h(3) = -2(3)² + 12(3) = -2(9) + 36 = -18 + 36 = 18 metros.