Função do 1º grau: exercícios para dominar o passo a passo

Função do 1º grau: exercícios

A função do 1º grau, também conhecida como função afim, é uma das relações matemáticas mais fundamentais e frequentemente abordadas no ensino médio e em exames como o ENEM e vestibulares. Ela descreve uma relação linear entre duas variáveis, onde o gráfico é sempre uma reta.

Compreender a função do 1º grau é essencial para diversas áreas da Matemática e para modelar situações do cotidiano, como cálculos de custo, velocidade e lucro. Dominar este conteúdo garantirá uma base sólida para tópicos mais avançados.

Para te ajudar a fixar o conteúdo e se preparar para as provas, a prática com exercícios é indispensável. Nesta seção, você encontrará uma série de questões resolvidas e comentadas.

Características da Função do 1º Grau

As principais características de uma função de primeiro grau são:

• Formato Algébrico: É representada pela expressão f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de zero.
• Gráfico Linear: Seu gráfico é sempre uma linha reta no plano cartesiano.
• Coeficiente Angular (a): Indica a inclinação da reta. Se a > 0, a função é crescente. Se a < 0, a função é decrescente.
• Coeficiente Linear (b): Representa o ponto onde a reta intercepta o eixo y (o valor de y quando x = 0).
• Raiz da Função (ou Zero da Função): É o valor de x para o qual f(x) = 0, ou seja, o ponto onde o gráfico intercepta o eixo x. Calcula-se igualando f(x) a zero: ax + b = 0.

Estrutura da Função Afim

A função afim é composta por dois coeficientes principais que definem seu comportamento e sua representação gráfica:

• Coeficiente Angular (a): O valor de a determina a taxa de variação da função e a inclinação da reta no gráfico. Se a é positivo, a função cresce; se é negativo, a função decresce. Quanto maior o valor absoluto de a, mais inclinada a reta será.
• Coeficiente Linear (b): O valor de b indica o ponto em que a reta cruza o eixo vertical (eixo y). Este é o valor de f(x) quando x é igual a zero.

Tipos de Função do 1º Grau

Os tipos de função do 1º grau são: função linear e função constante (considerada um caso degenerado da função afim, onde a = 0, mas aqui focaremos no 1º grau com a ≠ 0).

Função Crescente

Uma função do 1º grau é considerada crescente quando seu coeficiente angular a é positivo (a > 0). Isso significa que, à medida que os valores de x aumentam, os valores de f(x) também aumentam.

Exemplo:

A função f(x) = 2x + 1 é crescente, pois a = 2 > 0. Para x = 0, f(x) = 1. Para x = 1, f(x) = 3.

Função Decrescente

Uma função do 1º grau é considerada decrescente quando seu coeficiente angular a é negativo (a < 0). Nesse caso, à medida que os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem.

Exemplo:

A função f(x) = -3x + 5 é decrescente, pois a = -3 < 0. Para x = 0, f(x) = 5. Para x = 1, f(x) = 2.

Função Linear vs Função Afim

Aspecto	Função Afim (f(x) = ax + b)	Função Linear (f(x) = ax)
Coeficiente b	Pode ser qualquer número real	Sempre igual a zero (b=0)
Passa pela origem	Somente se b=0	Sempre passa pela origem
Tipo específico	Generalização	Caso particular da afim

Exemplos de Aplicação

Para compreender melhor a função do 1º grau, veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1: Custo de uma corrida de táxi

O valor V de uma corrida de táxi é composto por uma taxa fixa (bandeirada) de R$ 5,00 e um valor de R$ 2,50 por quilômetro rodado x. A função que representa o custo V(x) é:

V(x) = 2,50x + 5,00

Neste caso, o coeficiente angular a = 2,50 (valor por km) e o coeficiente linear b = 5,00 (bandeirada). É uma função crescente.

Exemplo 2: Temperatura em um termômetro

A temperatura C em graus Celsius e a temperatura F em graus Fahrenheit se relacionam pela função C(F) = (5/9)F - (160/9).

Podemos observar que a = 5/9 e b = -160/9. Essa é uma função afim com a > 0, portanto, crescente.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2015)
O gráfico mostra o número de passageiros de ônibus em uma cidade, durante um dia, em função da hora.

A função que melhor descreve o número de passageiros P(t) (em milhares) em função do tempo t (em horas) entre 6h e 12h é:

• a) P(t) = 1,5t + 3
• b) P(t) = 3t - 9
• c) P(t) = 2t
• d) P(t) = 0,5t + 6
• e) P(t) = t + 5

Resposta: Alternativa a: Analisando o gráfico no intervalo dado, podemos observar dois pontos: às 6h (t=6), o número de passageiros é em torno de 12 mil. Às 10h (t=10), o número de passageiros é em torno de 18 mil. Calculando a taxa de variação (coeficiente a): a = (18 - 12) / (10 - 6) = 6 / 4 = 1,5. Usando a forma P(t) = 1,5t + b e substituindo um ponto (e.g., P(6) = 12): 12 = 1,5 * 6 + b => 12 = 9 + b => b = 3. Assim, a função é P(t) = 1,5t + 3.

2. (PUC-SP)
Uma função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(2) = 7 e f(-1) = 1. O valor de f(5) é:

• a) 10
• b) 13
• c) 15
• d) 16
• e) 19

Resposta: Alternativa b: Com as informações dadas, montamos um sistema de equações:

1. 2a + b = 7 (para f(2) = 7)
2. -a + b = 1 (para f(-1) = 1)

Subtraindo a segunda equação da primeira: (2a + b) - (-a + b) = 7 - 1 => 3a = 6 => a = 2.
Substituindo a = 2 na segunda equação: -2 + b = 1 => b = 3.
Portanto, a função é f(x) = 2x + 3.
Agora, calculamos f(5): f(5) = 2 * 5 + 3 = 10 + 3 = 13.

3. (UNESP)
O custo total C de produção de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 3x + 500. Para que o custo total seja de R$ 1.250, quantas unidades devem ser produzidas?

• a) 200
• b) 250
• c) 300
• d) 350
• e) 400

Resposta: Alternativa b: Queremos encontrar x tal que C(x) = 1250.
1250 = 3x + 500
1250 - 500 = 3x
750 = 3x
x = 750 / 3
x = 250 unidades.

4. (UECE – Adaptado)
O gráfico da função f(x) = x + b passa pelo ponto (-2, 3). O valor de b é:

• a) -1
• b) 0
• c) 1
• d) 5
• e) 3

Resposta: Alternativa d: Se o gráfico da função passa pelo ponto (-2, 3), significa que quando x = -2, f(x) = 3.
Vamos substituir esses valores na função f(x) = x + b:
3 = -2 + b
b = 3 + 2
b = 5.

5. (UEL)
Um botânico estuda o crescimento de uma planta. Ele observa que, em 5 dias, a planta cresce 15 cm e, em 8 dias, atinge 24 cm de altura. Supondo que o crescimento seja linear (função do 1º grau) e que a planta já tinha uma altura inicial, a altura da planta após 10 dias será de:

• a) 25 cm
• b) 28 cm
• c) 30 cm
• d) 32 cm
• e) 35 cm

Resposta: Alternativa c: Seja h(d) = ad + b a função que representa a altura em d dias.
Temos dois pontos: (5, 15) e (8, 24).
Podemos calcular o coeficiente angular a:
a = (24 - 15) / (8 - 5) = 9 / 3 = 3.
Agora, usamos um dos pontos para encontrar b. Usando (5, 15):
15 = 3 * 5 + b
15 = 15 + b
b = 0.
A função de altura é h(d) = 3d.
Após 10 dias, a altura será h(10) = 3 * 10 = 30 cm.