Frações equivalentes

Frações Equivalentes

Frações equivalentes são representações diferentes da mesma parte de um todo, ou seja, possuem o mesmo valor, embora seus numeradores e denominadores sejam distintos.

Em outras palavras, se você dividir uma torta em quatro pedaços e pegar dois, terá comido a mesma quantidade do que se dividisse a mesma torta em dois pedaços e pegasse um. Ambas as situações representam a metade da torta.

Compreender frações equivalentes é fundamental para diversas operações matemáticas, como a adição e subtração de frações com denominadores diferentes, comparação de frações e simplificação, conceitos frequentemente abordados em provas como o ENEM e vestibulares.

Características

As principais características das frações equivalentes são:

• Representam a mesma quantidade ou proporção do todo.
• Podem ser obtidas multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador da fração original por um mesmo número diferente de zero.
• São visualmente diferentes, mas numericamente iguais.
• O conceito é essencial para a simplificação de frações e para encontrar um denominador comum.
• Podem ser comparadas para verificar se são iguais.

Como encontrar Frações Equivalentes

Existem duas operações principais para encontrar frações equivalentes: a multiplicação e a divisão.

Multiplicação (Amplificação)

Para encontrar uma fração equivalente por multiplicação, você deve multiplicar o numerador e o denominador da fração original por um mesmo número inteiro diferente de zero. Esse processo é chamado de amplificação.

Exemplo:

Para encontrar frações equivalentes a ½:

1 × 2 / 2 × 2 = 2/4

1 × 3 / 2 × 3 = 3/6

1 × 4 / 2 × 4 = 4/8

Portanto, ½, 2/4, 3/6, 4/8 são frações equivalentes, pois todas representam a metade de um todo.

Divisão (Simplificação)

Para encontrar uma fração equivalente por divisão, você deve dividir o numerador e o denominador da fração original por um mesmo número inteiro diferente de zero. Esse processo é chamado de simplificação. É importante que tanto o numerador quanto o denominador sejam divisíveis por esse número.

Exemplo:

Para simplificar a fração 6/12:

Ambos os números são divisíveis por 2:

6 ÷ 2 / 12 ÷ 2 = 3/6

Ambos os números (do resultado) são divisíveis por 3:

3 ÷ 3 / 6 ÷ 3 = 1/2

Ou, dividindo 6/12 diretamente por 6:

6 ÷ 6 / 12 ÷ 6 = 1/2

Assim, 6/12, 3/6 e 1/2 são frações equivalentes. A fração 1/2 é a forma irredutível de 6/12.

Fração Irredutível

A fração irredutível é a fração equivalente que não pode mais ser simplificada, ou seja, o numerador e o denominador não possuem nenhum divisor comum além de 1. Para obter a fração irredutível, você divide o numerador e o denominador pelo Máximo Divisor Comum (MDC) entre eles.

Exemplo:

Para encontrar a fração irredutível de 12/18:

Primeiro, encontramos o MDC entre 12 e 18.

Divisores de 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Divisores de 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}

O MDC entre 12 e 18 é 6.

Agora, dividimos o numerador e o denominador por 6:

12 ÷ 6 / 18 ÷ 6 = 2/3

A fração 2/3 é irredutível, pois 2 e 3 não possuem divisores comuns além de 1.

Verificação de Equivalência

Para verificar se duas frações são equivalentes, você pode usar a multiplicação cruzada. Se o produto do numerador de uma fração pelo denominador da outra for igual ao produto do denominador da primeira fração pelo numerador da segunda, as frações são equivalentes.

Exemplo:

Verificar se 2/3 e 4/6 são equivalentes.

Multiplicamos o numerador da primeira pela segunda e o denominador da primeira pelo numerador da segunda:

2 × 6 = 12

3 × 4 = 12

Como 12 = 12, as frações 2/3 e 4/6 são equivalentes.

Aplicações

O conceito de frações equivalentes é crucial para:

• Comparar frações: Para comparar frações com denominadores diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes a elas que possuam um denominador comum.
• Adicionar e subtrair frações: Da mesma forma, antes de somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é preciso transformá-las em frações equivalentes com um denominador comum.
• Resolução de problemas de proporção: Muitos problemas que envolvem proporção direta ou inversa utilizam frações equivalentes em suas soluções.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2021)

Em uma competição de culinária, três amigos, Ana, Bia e Carla, contribuíram com parte da receita de um bolo. Ana contribuiu com 1/3 da receita, Bia com 2/6 e Carla com 4/12. Qual afirmação está correta sobre a contribuição das amigas?

• a) Ana contribuiu com mais que Bia.
• b) Bia contribuiu com menos que Carla.
• c) As três contribuíram com a mesma quantidade.
• d) Ana e Bia contribuíram, juntas, com mais da metade.
• e) Carla contribuiu com a maior parte.

Resposta: Alternativa c: Primeiramente, simplificamos as frações de Bia e Carla para suas formas irredutíveis.
Para Bia: 2/6 = 2 ÷ 2 / 6 ÷ 2 = 1/3.
Para Carla: 4/12 = 4 ÷ 4 / 12 ÷ 4 = 1/3.
Como todas as frações simplificadas são 1/3, as três contribuíram com a mesma quantidade.

2. (VUNESP-2019)

Deseja-se simplificar a fração 30/45 até torná-la irredutível. Qual é a fração irredutível correspondente?

• a) 1/2
• b) 2/3
• c) 3/5
• d) 5/6
• e) 6/9

Resposta: Alternativa b: Para simplificar a fração 30/45 até a forma irredutível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo seu Máximo Divisor Comum (MDC).
MDC(30, 45) = 15.
30 ÷ 15 / 45 ÷ 15 = 2/3. A fração 2/3 é irredutível.