Equações biquadradas

Equações biquadradas

Equações biquadradas são equações polinomiais do quarto grau que podem ser transformadas em equações do segundo grau utilizando uma substituição de variável.

Essas equações possuem características específicas em relação aos seus expoentes e são comumente abordadas em provas de vestibulares e do ENEM, exigindo um bom domínio de álgebra. A compreensão de como resolvê-las é fundamental para o avanço nos estudos de Matemática e suas Tecnologias.

Características

As principais características das equações biquadradas são:

• Possuem o formato geral ax⁴ + bx² + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
• Os expoentes das variáveis são sempre números pares: 4 e 2.
• Podem ter até quatro raízes reais distintas.
• Sua resolução envolve um método de substituição de variável pelo qual a equação é reduzida a uma equação de segundo grau.
• São consideradas um tipo especial de equação polinomial de grau 4.

Estrutura e identificação

A estrutura de uma equação biquadrada é facilmente reconhecível pelo padrão de seus termos.

• Termo de maior grau (x⁴): O coeficiente a multiplica a variável elevada à quarta potência.
• Termo de grau intermediário (x²): O coeficiente b multiplica a variável elevada ao quadrado.
• Termo independente (c): Um número real sem variável, representando o coeficiente c.

Para identificar uma equação biquadrada, basta verificar se ela se encaixa no formato ax⁴ + bx² + c = 0, onde a, b e c são constantes e x é a variável. Por exemplo, x⁴ - 5x² + 4 = 0 é uma equação biquadrada, enquanto x⁴ + 3x³ - x² + 1 = 0 não é, devido ao termo 3x³.

Como Resolver Equações Biquadradas

Resolver uma equação biquadrada envolve um processo de duas etapas principais: a substituição de variável e a resolução da equação de segundo grau resultante.

Passo a passo para a resolução

1. Substituição de Variável: Faça y = x². Consequentemente, y² = (x²)² = x⁴.
2. Transformação: Substitua x⁴ por y² e x² por y na equação biquadrada original. A equação ax⁴ + bx² + c = 0 se tornará ay² + by + c = 0.
3. Resolução da Equação de Segundo Grau: Resolva a equação ay² + by + c = 0 para encontrar os valores de y. Você pode usar a Fórmula de Bhaskara para isso: y = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a.
4. Encontrar os valores de x: Após encontrar os valores de y, retorne à substituição x² = y. Para cada valor positivo de y, teremos duas raízes para x (x = √y e x = -√y). Se y for zero, x será zero. Se y for negativo, não haverá raízes reais para x.

Exemplo de Equação Biquadrada

Para compreender melhor o método de resolução, vejamos um exemplo completo.

Exemplo:

Resolva a equação biquadrada x⁴ - 13x² + 36 = 0.

1. Identificação: A equação está no formato ax⁴ + bx² + c = 0, com a=1, b=-13 e c=36.

2. Substituição de variável: Vamos fazer y = x².

3. Transformação para equação de 2º grau: Substituindo na equação original, obtemos y² - 13y + 36 = 0.

4. Resolução da equação de 2º grau: Usando a Fórmula de Bhaskara, temos:
y = [-(-13) ± sqrt((-13)² - 4 * 1 * 36)] / (2 * 1)
y = [13 ± sqrt(169 - 144)] / 2
y = [13 ± sqrt(25)] / 2
y = [13 ± 5] / 2

Teremos dois valores para y:
y₁ = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9
y₂ = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4

5. Encontrar os valores de x: Agora, voltamos à substituição x² = y.

Para y₁ = 9:
x² = 9
x = ±√9
x = ±3 (Ou seja, x₃ = 3 e x₄ = -3)

Para y₂ = 4:
x² = 4
x = ±√4
x = ±2 (Ou seja, x₁ = 2 e x₂ = -2)

Portanto, o conjunto solução da equação x⁴ - 13x² + 36 = 0 é S = {-3, -2, 2, 3}.

No exemplo acima, podemos identificar as quatro raízes reais que a equação biquadrada pode apresentar, demonstrando a importância de verificar todos os possíveis valores de x após encontrar os valores de y.

Casos Especiais

É importante estar atento a algumas situações que podem surgir durante a resolução:

Discriminante Negativo

Se o discriminante (Δ = b² – 4ac) da equação do segundo grau para y for negativo, não haverá soluções reais para y, e consequentemente, não haverá soluções reais para x.

Valores de y negativos ou zero

• Se um valor de y for negativo (ex: y = -4), não há raízes reais para x (pois x² = -4 não possui solução real). Nesse caso, as raízes de x seriam complexas.
• Se um valor de y for zero (ex: y = 0), então x² = 0 implica que x = 0. A raiz x = 0 tem multiplicidade 2.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2021) Uma equação biquadrada é dada por x⁴ - 10x² + 9 = 0. Quais são as raízes reais dessa equação?

• a) {-3, -1, 1, 3}
• b) {-9, -1, 1, 9}
• c) {-3, -2, 2, 3}
• d) {-10, -9, 9, 10}
• e) {-1, 1}

Resposta: Alternativa a:
Fazendo y = x², a equação torna-se y² - 10y + 9 = 0.
Usando Bhaskara:
y = [10 ± sqrt((-10)² - 4 * 1 * 9)] / (2 * 1)
y = [10 ± sqrt(100 - 36)] / 2
y = [10 ± sqrt(64)] / 2
y = [10 ± 8] / 2

y₁ = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9
y₂ = (10 - 8) / 2 = 2 / 2 = 1

Agora, substituindo de volta x² = y:
Para y₁ = 9: x² = 9 => x = ±3
Para y₂ = 1: x² = 1 => x = ±1
As raízes reais são {-3, -1, 1, 3}.

2. (UNESP-2018) Determine o conjunto solução da equação 4x⁴ - 17x² + 4 = 0 no conjunto dos números reais.

• a) {-1/2, 1/2, 2}
• b) {-2, -1/2, 1/2, 2}
• c) {1/2, 2}
• d) {-2, 2}
• e) {-1, 1}

Resposta: Alternativa b:
Fazendo y = x², a equação se torna 4y² - 17y + 4 = 0.
Usando Bhaskara:
y = [17 ± sqrt((-17)² - 4 * 4 * 4)] / (2 * 4)
y = [17 ± sqrt(289 - 64)] / 8
y = [17 ± sqrt(225)] / 8
y = [17 ± 15] / 8

y₁ = (17 + 15) / 8 = 32 / 8 = 4
y₂ = (17 - 15) / 8 = 2 / 8 = 1/4

Substituindo de volta x² = y:
Para y₁ = 4: x² = 4 => x = ±2
Para y₂ = 1/4: x² = 1/4 => x = ±√(1/4) => x = ±1/2
As raízes reais são {-2, -1/2, 1/2, 2}.