Domínio de funções: exercícios para dominar o conceito rápido

Domínio de funções: exercícios

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis para a variável independente (geralmente x) que fazem com que a função seja definida e retorne um valor real para a variável dependente (geralmente y ou f(x)).

Compreender o domínio é essencial para analisar o comportamento de uma função, pois ele delimita o “onde” a função existe no plano cartesiano. Para funções reais, algumas restrições comuns incluem divisões por zero (denominador não pode ser nulo) e raízes quadradas de números negativos (radicando não pode ser negativo).

Dominar a identificação do domínio é crucial para a resolução de problemas em diversas áreas da matemática, sendo um tópico frequentemente abordado em provas de Ensino Médio, vestibulares e no ENEM.

Características do Domínio de Funções

As principais características do domínio de funções são:

• O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) é um número real.
• Em funções polinomiais, o domínio é sempre o conjunto dos números reais (ℝ), pois não há restrições.
• Em funções racionais (com fração), o denominador não pode ser zero.
• Em funções com raízes de índice par (como a raiz quadrada), o radicando não pode ser negativo.
• Em funções com logaritmo, o logaritmando deve ser positivo, e a base positiva e diferente de 1.

Tipos de Restrições Comuns

Identificar o domínio de uma função real significa encontrar os valores de x para os quais a função produzirá um número real válido. Existem principalmente três tipos de restrições que os estudantes do ensino médio e vestibulandos devem dominar.

Denominador Não-Nulo

Uma função que possui uma expressão no denominador (função racional) requer que esse denominador seja diferente de zero. A divisão por zero é uma operação indefinida na matemática real.

Exemplo:

Dada a função f(x) = 1/(x-3).
Para que f(x) seja definida, o denominador deve ser diferente de zero.
x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3.
Portanto, o domínio de f(x) é D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 3} ou D(f) = ℝ – {3}.

Radicando Não-Negativo

Funções que envolvem raízes de índice par (como raiz quadrada, quarta, etc.) exigem que o radicando (o termo dentro da raiz) seja maior ou igual a zero, pois não existe raiz real de número negativo para índices pares.

Exemplo:

Dada a função g(x) = √(x+2).
Para que g(x) seja definida nos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2.
Portanto, o domínio de g(x) é D(g) = {x ∈ ℝ | x ≥ -2} ou D(g) = [-2, +∞).

Logaritmando Positivo

Em funções logarítmicas, tanto o logaritmando quanto a base devem satisfazer certas condições. Para o logaritmando, ele deve ser estritamente maior que zero.

Exemplo:

Dada a função h(x) = log₂(x-1).
Para que h(x) seja definida, o logaritmando deve ser maior que zero.
x – 1 > 0 ⇒ x > 1.
Portanto, o domínio de h(x) é D(h) = {x ∈ ℝ | x > 1} ou D(h) = (1, +∞).

Combinação de Restrições

Frequentemente, uma função pode apresentar mais de uma restrição ao mesmo tempo, como uma raiz no denominador ou um logaritmo dentro de uma raiz. Nesses casos, o domínio da função é a interseção dos domínios encontrados para cada restrição individual.

Exemplo:

Para compreender melhor, veja o exemplo abaixo:

Dada a função f(x) = (√(x-4)) / (x-5).

Temos duas restrições:

1. Radicando não-negativo: x – 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4. (Conjunto A = [4, +∞))
2. Denominador não-nulo: x – 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5. (Conjunto B = ℝ – {5})

Para encontrar o domínio final, devemos encontrar a interseção dos dois conjuntos de restrições:
D(f) = A ∩ B = {x ∈ ℝ | x ≥ 4 e x ≠ 5}.

Em notação de intervalo, D(f) = [4, 5) ∪ (5, +∞).

No exemplo acima, analisamos cada parte da função separadamente para garantir todas as condições de existência nos números reais e combinamos os resultados.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2022)

Qual é o domínio da função f(x) = (x+1) / (x² – 4)?

• a) ℝ – {4}
• b) ℝ – {-2, 2}
• c) ℝ – {2}
• d) ℝ
• e) ℝ – {-1, 2}

Resposta: Alternativa b: Para que a função f(x) seja definida, o denominador deve ser diferente de zero. Assim, x² – 4 ≠ 0 ⇒ x² ≠ 4 ⇒ x ≠ ± 2. Portanto, o domínio da função é ℝ – {-2, 2}.

2. (PUC-SP)

Determine o domínio da função g(x) = √(5 – x).

• a) x ≤ 5
• b) x ≥ 5
• c) x < 5
• d) x > 5
• e) ℝ

Resposta: Alternativa a: Para que a função g(x) seja definida nos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Assim, 5 – x ≥ 0 ⇒ 5 ≥ x ⇒ x ≤ 5. Portanto, o domínio é {x ∈ ℝ | x ≤ 5}.

3. (UNESP)

O domínio da função h(x) = log(x² – 9) é:

• a) x > 3
• b) -3 < x < 3
• c) x < -3 ou x > 3
• d) x ≠ ± 3
• e) ℝ

Resposta: Alternativa c: Para que a função h(x) seja definida, o logaritmando deve ser estritamente maior que zero. Assim, x² – 9 > 0 ⇒ x² > 9. Isso implica que x > 3 ou x < -3. Portanto, o domínio é {x ∈ ℝ | x < -3 ou x > 3}.

4. (FGV-SP)

Considere a função k(x) = 1 / √(x-2). Qual é o seu domínio?

• a) x > 2
• b) x ≥ 2
• c) x < 2
• d) x ≠ 2
• e) ℝ

Resposta: Alternativa a: Temos duas restrições combinadas aqui. Primeiro, o radicando deve ser maior ou igual a zero: x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. Segundo, como a raiz está no denominador, ela não pode ser zero: √(x-2) ≠ 0 ⇒ x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2. Combinando as duas condições, x ≥ 2 e x ≠ 2, obtemos x > 2.