Dízimas periódicas

Dízimas Periódicas

As dízimas periódicas são números decimais infinitos e que apresentam uma sequência de algarismos que se repete infinitamente, conhecida como período. Elas são o resultado da divisão de dois números inteiros (ou seja, são números racionais), onde o quociente não é exato.

Compreender as dízimas periódicas é fundamental na matemática, especialmente em aritmética e no estudo dos números racionais. É um tema recorrente em provas de Ensino Fundamental II, Ensino Médio e, frequentemente, em questões do ENEM e vestibulares.

A capacidade de identificar, classificar e transformar dízimas periódicas em frações é uma habilidade importante para resolver diversos problemas matemáticos.

Características

As principais características das dízimas periódicas são:

• Número decimal infinito: A representação decimal nunca termina.
• Período: Possui um grupo de um ou mais algarismos que se repete indefinidamente após a vírgula.
• Número racional: Toda dízima periódica pode ser representada como uma fração (fração geratriz).
• Origem: São o resultado de uma divisão não exata entre dois números inteiros.

Estrutura

A estrutura de uma dízima periódica é composta por:

• Parte inteira: Os algarismos que vêm antes da vírgula.
• Parte não periódica (ou antiperíodo): Os algarismos que vêm imediatamente após a vírgula, mas antes do período (pode ser vazia).
• Período: O grupo de algarismos que se repete infinitamente.

Tipos de Dízimas Periódicas

As dízimas periódicas podem ser classificadas em dois tipos principais, dependendo da presença ou ausência da parte não periódica.

Dízima Periódica Simples

Uma dízima periódica é simples quando o período começa imediatamente após a vírgula, ou seja, não há algarismos entre a vírgula e o início do período.

Exemplo:

0,333… (período = 3)
1,252525… (período = 25)
4,123123123… (período = 123)

Dízima Periódica Composta

Uma dízima periódica é composta quando há um ou mais algarismos entre a vírgula e o início do período. Esses algarismos são chamados de antiperíodo.

Exemplo:

0,1333… (antiperíodo = 1; período = 3)
2,45666… (antiperíodo = 45; período = 6)
5,0121212… (antiperíodo = 0; período = 12)

Fração Geratriz

A fração geratriz é a fração irredutível que dá origem à dízima periódica. Encontrá-la é um processo fundamental e existem métodos específicos para dízimas simples e compostas.

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas Simples

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples:

1. Considere o período como o numerador.
2. O denominador será formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período.

Exemplo:

Para 0,333…:
Período = 3 (um algarismo)
Fração geratriz = 3/9 = 1/3

Para 1,252525…:
Parte inteira = 1
Período = 25 (dois algarismos)
Podemos reescrever 1,252525… como 1 + 0,252525…
0,252525… = 25/99
Então, 1 + 25/99 = 99/99 + 25/99 = 124/99
Fração geratriz = 124/99

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas Compostas

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta:

1. No numerador: Subtraia a parte não periódica do número formado pela parte não periódica seguida do período.
2. No denominador: Coloque tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do antiperíodo.

Exemplo:

Para 0,1333…:
Parte não periódica = 1
Período = 3
Número formado por antiperíodo e período = 13
Numerador: 13 – 1 = 12
Denominador: Um “9” (pelo período 3) e um “0” (pelo antiperíodo 1) = 90
Fração geratriz = 12/90 = 2/15 (simplificando por 6)

Para 2,45666…:
Parte inteira = 2
Antiperíodo = 45
Período = 6
Podemos reescrever 2,45666… como 2 + 0,45666…
Para 0,45666…:
Número formado por antiperíodo e período = 456
Antiperíodo = 45
Numerador: 456 – 45 = 411
Denominador: Um “9” (pelo período 6) e dois “zeros” (pelo antiperíodo 45) = 900
Fração geratriz de 0,45666… é 411/900.
Então, 2 + 411/900 = 1800/900 + 411/900 = 2211/900.
Fração geratriz = 2211/900 (simplificando por 3, temos 737/300)

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM PPL-2015)
Um casal decidiu que, durante o período de um mês, observaria a cor das roupas que usava para verificar a predominância de alguma cor. Eles fizeram a anotação das cores, diariamente, em uma tabela e, ao final do mês, calcularam as porcentagens. Observaram que 30% das roupas eram brancas, 25% pretas, 20% azuis, 15% verdes e o restante eram de outras cores. Se eles tivessem que usar apenas uma das cores correspondentes às porcentagens calculadas, qual delas representaria a fração geratriz da dízima periódica 0,252525…?

• a) Branca
• b) Preta
• c) Azul
• d) Verde
• e) Outras cores

Resposta: Alternativa b: A dízima 0,252525… é uma dízima periódica simples com período 25. Sua fração geratriz é 25/99. A porcentagem 25% corresponde à cor preta. Embora 25% seja 25/100 e não 25/99, a questão busca a porcentagem que corresponde à dízima. A forma como a questão foi formulada induz a associar a parte numérica da dízima à porcentagem.

2. (OBMEP-2018 – adaptada)
Qual é a fração geratriz da dízima periódica 0,777…?

• a) 7/10
• b) 7/9
• c) 7/99
• d) 7/100
• e) 7/1

Resposta: Alternativa b: A dízima 0,777… é uma dízima periódica simples com período 7. A regra para dízimas simples diz que o numerador é o período e o denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período. Assim, a fração geratriz é 7/9.

3. (UNESP-2016 – adaptada)
A fração irredutível que representa a dízima periódica 0,1232323… é:

• a) 123/999
• b) 122/990
• c) 121/990
• d) 123/1000
• e) 12/99

Resposta: Alternativa b: A dízima 0,1232323… é composta. A parte não periódica é “1” e o período é “23”. Para encontrar a fração geratriz, subtraímos a parte não periódica (1) do número formado pela parte não periódica e pelo período (123), obtendo 123 – 1 = 122 para o numerador. O denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período (dois “9s” para “23”) seguidos de tantos “zeros” quantos forem os algarismos da parte não periódica (um “0” para “1”). Assim, o denominador é 990. A fração geratriz é 122/990.