Divisão de polinômios
A divisão de polinômios é uma operação fundamental na matemática que nos permite expressar um polinômio como produto de dois outros polinômios, mais um resto. Assim como na divisão de números inteiros, o objetivo é encontrar um quociente e um resto.
Esta operação é essencial para simplificar expressões algébricas complexas, encontrar raízes de polinômios e fatorar equações de grau superior. Ela é frequentemente cobrada em provas de Ensino Médio, vestibulares e no ENEM, exigindo compreensão dos métodos e suas aplicações.
Entender a divisão de polinômios ajuda a aprofundar o conhecimento sobre a estrutura e as propriedades dos polinômios, preparando o estudante para tópicos mais avançados da álgebra.
Características da Divisão de Polinômios
- Se P(x) é o polinômio dividendo e D(x) é o polinômio divisor, devemos ter o grau de D(x) menor ou igual ao grau de P(x), e D(x) não pode ser um polinômio nulo.
- O resultado é um polinômio quociente Q(x) e um polinômio resto R(x).
- A relação fundamental da divisão é: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
- O grau do polinômio resto R(x) deve ser sempre menor que o grau do polinômio divisor D(x).
- Se R(x) for igual a zero, dizemos que P(x) é divisível por D(x).
Métodos de Divisão de Polinômios
Existem dois métodos principais para realizar a divisão de polinômios: o Método da Chave (ou Divisão Longa) e o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, este último aplicável em casos específicos.
Método da Chave (Divisão Longa)
O Método da Chave é o mais geral e pode ser usado para dividir qualquer polinômio P(x) por um polinômio D(x) não nulo. Ele segue os mesmos passos da divisão de números inteiros.
Passos básicos:
- Organizar: Escreva os polinômios em ordem decrescente de graus, completando com zeros os termos que faltam (se necessário).
- Dividir o termo líder: Divida o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter o primeiro termo do quociente.
- Multiplicar: Multiplique o termo encontrado no quociente por todo o divisor.
- Subtrair: Subtraia o resultado do dividendo.
- Repetir: Repita os passos 2, 3 e 4 com o novo dividendo até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Este método é um atalho para a divisão de um polinômio P(x) por um divisor de primeiro grau do tipo (x – a).
Passos básicos:
- Raiz do divisor: Encontre a raiz do polinômio divisor, ou seja, se o divisor é (x – a), a raiz é a.
- Coficientes: Escreva os coeficientes do polinômio dividendo em ordem decrescente de graus, incluindo zeros para os termos ausentes.
- Montar o dispositivo: Desenhe uma “grelha” e posicione a raiz do divisor à esquerda e os coeficientes do dividendo na linha superior.
- Executar:
- Abaixe o primeiro coeficiente do dividendo. Este será o primeiro coeficiente do quociente.
- Multiplique este coeficiente pela raiz do divisor e some o resultado com o próximo coeficiente do dividendo.
- Repita o processo até o último coeficiente.
- Resultado: Os números obtidos na linha inferior (exceto o último) são os coeficientes do quociente, e o último número é o resto. O grau do quociente será um a menos que o grau do dividendo.
Exemplos de Divisão de Polinômios
Vamos aplicar os métodos para ilustrar a divisão.
Exemplo 1: Método da Chave
Dividir P(x) = x³ – 3x² + 5x – 20 por D(x) = x – 2.
x² – x + 3
_________________
x – 2 | x³ – 3x² + 5x – 20
-(x³ – 2x²)
___________
– x² + 5x
-(- x² + 2x)
___________
3x – 20
-(3x – 6)
_________
– 14
Nesse caso, o quociente Q(x) = x² – x + 3 e o resto R(x) = -14.
Exemplo 2: Briot-Ruffini
Dividir P(x) = x³ – 3x² + 5x – 20 por D(x) = x – 2. (Mesmo exemplo para comparação)
A raiz do divisor (x – 2) é a = 2.
Os coeficientes de P(x) são 1, -3, 5, -20.
2 | 1 -3 5 -20
| 2 -2 6
—————–
1 -1 3 -14
Os coeficientes do quociente são 1, -1, 3. Assim, Q(x) = 1x² – 1x + 3 = x² – x + 3.
O resto é o último número, R(x) = -14.
Teorema do Resto
O Teorema do Resto é uma ferramenta poderosa relacionada à divisão de polinômios. Ele afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é igual a P(a).
Exemplo:
Para o polinômio P(x) = x³ – 3x² + 5x – 20 e o divisor (x – 2), pelo Teorema do Resto:
R = P(2) = (2)³ – 3(2)² + 5(2) – 20
R = 8 – 3(4) + 10 – 20
R = 8 – 12 + 10 – 20
R = -4 + 10 – 20
R = 6 – 20
R = -14
O resultado é consistente com os obtidos pelos métodos da divisão.
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2018)
Um estudante está realizando a divisão do polinômio P(x) = 4x³ – 2x² + 5x – 1 por D(x) = 2x + 1 usando o método da chave. Qual o termo de maior grau do polinômio quociente Q(x) que ele deverá encontrar?
- a) 4x²
- b) 2x²
- c) 2x
- d) x²
- e) x
Resposta: Alternativa b: Para encontrar o termo de maior grau do quociente, dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor: 4x³ ÷ 2x = 2x².
2. (ITA-2019)
Seja P(x) = x⁴ – 2x³ + ax + b um polinômio. Sabendo que P(x) é divisível por (x – 1) e que o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é igual a 8, assinale a alternativa que apresenta os valores de a e b, respectivamente.
- a) a = -2 e b = 3
- b) a = -3 e b = 4
- c) a = -4 e b = 5
- d) a = -5 e b = 6
- e) a = -6 e b = 7
Resposta: Nenhuma das alternativas é correta para os valores de a e b de acordo com o enunciado. Os valores corretos encontrados são a = -2 e b = 3.
Justificativa:
Pelo Teorema do Resto:
- P(x) é divisível por (x – 1), então P(1) = 0.
P(1) = 1⁴ – 2(1)³ + a(1) + b = 0
1 – 2 + a + b = 0
-1 + a + b = 0 → a + b = 1 (Equação 1)
- O resto da divisão de P(x) por (x + 1) é 8, então P(-1) = 8.
P(-1) = (-1)⁴ – 2(-1)³ + a(-1) + b = 8
1 – 2(-1) – a + b = 8
1 + 2 – a + b = 8
3 – a + b = 8 → -a + b = 5 (Equação 2)
Somando a Equação 1 e a Equação 2:
(a + b) + (-a + b) = 1 + 5
2b = 6 → b = 3
Substituindo b = 3 na Equação 1:
a + 3 = 1 → a = 1 – 3 → a = -2
Portanto, os valores corretos são a = -2 e b = 3, que não correspondem a nenhuma das opções fornecidas. Essa inconsistência deve ser observada e comunicada ao responsável pela questão.