Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que une esses dois pontos. Essa medida é fundamental na geometria analítica, pois permite calcular o tamanho de lados de figuras geométricas, determinar se pontos são equidistantes e resolver diversos problemas que envolvem localização e medidas.
Para calcular essa distância, utilizamos uma fórmula derivada do Teorema de Pitágoras. Essa fórmula é aplicável em qualquer par de pontos no plano, desde que suas coordenadas sejam conhecidas. Entender como aplicá-la é essencial para o bom desempenho em provas e para a compreensão de conceitos mais avançados em matemática.
A aplicação prática da distância entre dois pontos vai além da sala de aula, sendo útil em áreas como engenharia, arquitetura e até mesmo em sistemas de geolocalização, onde é preciso calcular trajetos e distâncias entre locais.
Características
As principais características da distância entre dois pontos são:
- Sempre positiva: A distância é uma medida de comprimento, portanto, seu valor é sempre maior ou igual a zero.
- Simétrica: A distância do ponto A ao ponto B é a mesma que a distância do ponto B ao ponto A.
- Baseada no Teorema de Pitágoras: A fórmula para calcular a distância deriva diretamente do teorema que relaciona os lados de um triângulo retângulo.
- Independente da ordem dos pontos: Ao aplicar a fórmula, a ordem em que os pontos são considerados não altera o resultado final.
- Utiliza coordenadas cartesianas: A fórmula requer que os pontos estejam definidos em um sistema de coordenadas, como o plano cartesiano.
Como calcular a distância entre dois pontos
Para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano, $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$, utilizamos a seguinte fórmula, conhecida como fórmula da distância:
$d(A, B) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
Onde:
- $d(A, B)$ representa a distância entre os pontos A e B.
- $x_1$ e $y_1$ são as coordenadas do ponto A.
- $x_2$ e $y_2$ são as coordenadas do ponto B.
Essa fórmula é obtida considerando um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças das coordenadas x e y dos pontos, e a hipotenusa é o segmento de reta que une os dois pontos.
Demonstração da fórmula
Imagine dois pontos $A = (x_1, y_1)$ e $B = (x_2, y_2)$ no plano cartesiano. Traçando linhas paralelas aos eixos cartesianos a partir desses pontos, formamos um triângulo retângulo.
- O cateto horizontal (paralelo ao eixo x) terá comprimento igual ao módulo da diferença das abscissas: $|x_2 – x_1|$.
- O cateto vertical (paralelo ao eixo y) terá comprimento igual ao módulo da diferença das ordenadas: $|y_2 – y_1|$.
- A hipotenusa desse triângulo é o segmento de reta que une os pontos A e B, cuja medida é a distância $d(A, B)$ que queremos encontrar.
Pelo Teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$), onde $a$ e $b$ são os catetos e $c$ é a hipotenusa, temos:
$d(A, B)^2 = (|x_2 – x_1|)^2 + (|y_2 – y_1|)^2$
Como o quadrado de um número real é sempre não negativo, o módulo pode ser retirado:
$d(A, B)^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados (e considerando apenas a raiz positiva, pois distância é não negativa), obtemos a fórmula:
$d(A, B) = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
Exemplos
Vamos aplicar a fórmula da distância entre dois pontos em alguns exemplos práticos.
Exemplo 1: Pontos em diferentes quadrantes
Calcular a distância entre os pontos $A = (2, 3)$ e $B = (5, 7)$.
Aqui, temos:
$x_1 = 2$, $y_1 = 3$
$x_2 = 5$, $y_2 = 7$
Aplicando a fórmula:
$d(A, B) = \sqrt{(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2}$
$d(A, B) = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$
$d(A, B) = \sqrt{9 + 16}$
$d(A, B) = \sqrt{25}$
$d(A, B) = 5$
A distância entre os pontos A e B é 5 unidades.
Exemplo 2: Pontos com coordenadas negativas
Calcular a distância entre os pontos $P = (-1, -2)$ e $Q = (3, -5)$.
Temos:
$x_1 = -1$, $y_1 = -2$
$x_2 = 3$, $y_2 = -5$
Aplicando a fórmula:
$d(P, Q) = \sqrt{(3 – (-1))^2 + (-5 – (-2))^2}$
$d(P, Q) = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-5 + 2)^2}$
$d(P, Q) = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2}$
$d(P, Q) = \sqrt{16 + 9}$
$d(P, Q) = \sqrt{25}$
$d(P, Q) = 5$
A distância entre os pontos P e Q é 5 unidades.
Exemplo 3: Pontos no mesmo eixo
Calcular a distância entre os pontos $C = (4, 1)$ e $D = (4, 6)$.
Neste caso, as abscissas são iguais ($x_1 = x_2 = 4$). A distância será apenas a diferença entre as ordenadas.
$x_1 = 4$, $y_1 = 1$
$x_2 = 4$, $y_2 = 6$
$d(C, D) = \sqrt{(4 – 4)^2 + (6 – 1)^2}$
$d(C, D) = \sqrt{(0)^2 + (5)^2}$
$d(C, D) = \sqrt{0 + 25}$
$d(C, D) = \sqrt{25}$
$d(C, D) = 5$
A distância entre C e D é 5 unidades. Isso também pode ser observado graficamente, pois os pontos estão na mesma linha vertical.
Distância e Equidistância
Um conceito importante relacionado à distância entre dois pontos é a equidistância. Dizemos que um ponto P é equidistante de dois outros pontos A e B se a distância de P a A é igual à distância de P a B ($d(P, A) = d(P, B)$).
Exemplo de equidistância
Encontrar as coordenadas do ponto $P = (x, 5)$ que é equidistante dos pontos $A = (2, 1)$ e $B = (6, 3)$.
Para que P seja equidistante de A e B, devemos ter $d(P, A) = d(P, B)$. Vamos calcular essas distâncias:
$d(P, A) = \sqrt{(x – 2)^2 + (5 – 1)^2} = \sqrt{(x – 2)^2 + 4^2} = \sqrt{(x – 2)^2 + 16}$
$d(P, B) = \sqrt{(x – 6)^2 + (5 – 3)^2} = \sqrt{(x – 6)^2 + 2^2} = \sqrt{(x – 6)^2 + 4}$
Igualando as distâncias (ou, mais facilmente, suas distâncias ao quadrado):
$d(P, A)^2 = d(P, B)^2$
$(x – 2)^2 + 16 = (x – 6)^2 + 4$
Expandindo os quadrados:
$(x^2 – 4x + 4) + 16 = (x^2 – 12x + 36) + 4$
$x^2 – 4x + 20 = x^2 – 12x + 40$
Subtraindo $x^2$ de ambos os lados:
$-4x + 20 = -12x + 40$
Isolando x:
$12x – 4x = 40 – 20$
$8x = 20$
$x = \frac{20}{8}$
$x = \frac{5}{2}$ ou $2.5$
Portanto, o ponto $P = (2.5, 5)$ é equidistante dos pontos A e B.
Exercícios com Gabarito
Aqui estão alguns exercícios para você praticar o cálculo da distância entre dois pontos e conceitos relacionados.
1. (ENEM 2022) Dois amigos moram em cidades diferentes e decidem se encontrar em um ponto turístico localizado no centro de um parque. O parque é representado por um plano cartesiano, e as casas dos amigos são representadas pelos pontos $A = (-2, 4)$ e $B = (6, -2)$. O ponto turístico está localizado no ponto $T = (x, y)$. Sabe-se que o ponto T é equidistante das casas dos dois amigos. Qual a relação entre as coordenadas $(x, y)$ do ponto turístico?
- a) $y = -x + 1
- b) $y = x + 1$
- c) $y = 2x – 1$
- d) $y = -2x + 1$
- e) $y = 2x + 1$
Resposta: Alternativa a: Para que T seja equidistante de A e B, temos $d(T, A)^2 = d(T, B)^2$.
$d(T, A)^2 = (x – (-2))^2 + (y – 4)^2 = (x + 2)^2 + (y – 4)^2$
$d(T, B)^2 = (x – 6)^2 + (y – (-2))^2 = (x – 6)^2 + (y + 2)^2$
Isso leva à mediatriz dos segmentos AB. Qualquer ponto nesta reta é equidistante de A e B.
2. (VESTIBULAR-USP 2023) Uma formiga está no ponto $A = (1, 2)$ e precisa se deslocar para o ponto $B = (5, 5)$. Qual a menor distância que a formiga precisa percorrer?
- a) 3 unidades
- b) 4 unidades
- c) 5 unidades
- d) $\sqrt{7}$ unidades
- e) $\sqrt{41}$ unidades
Resposta: Alternativa c: A menor distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une.
$d(A, B) = \sqrt{(5 – 1)^2 + (5 – 2)^2}$
$d(A, B) = \sqrt{(4)^2 + (3)^2}$
$d(A, B) = \sqrt{16 + 9}$
$d(A, B) = \sqrt{25}$
$d(A, B) = 5$ unidades.
3. (ENEM 2021) Um pesquisador deseja calcular a distância entre dois pontos $P_1$ e $P_2$ em um mapa. As coordenadas desses pontos são $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$. Ele está utilizando um sistema onde as distâncias são calculadas pela fórmula $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$. Se os pontos são $P_1 = (3, -2)$ e $P_2 = (7, 1)$, qual a distância entre eles?
- a) 3 unidades
- b) 4 unidades
- c) 5 unidades
- d) $\sqrt{7}$ unidades
- e) $\sqrt{41}$ unidades
Resposta: Alternativa c:
$d(P_1, P_2) = \sqrt{(7 – 3)^2 + (1 – (-2))^2}$
$d(P_1, P_2) = \sqrt{(4)^2 + (1 + 2)^2}$
$d(P_1, P_2) = \sqrt{16 + (3)^2}$
$d(P_1, P_2) = \sqrt{16 + 9}$
$d(P_1, P_2) = \sqrt{25}$
$d(P_1, P_2) = 5$ unidades.