Comparação de frações
Comparação de frações é o processo de determinar a relação entre duas ou mais frações, estabelecendo qual delas representa a maior quantidade, a menor ou se são equivalentes. Essa habilidade é fundamental para resolver problemas matemáticos que envolvem quantidades fracionadas e para a compreensão de conceitos mais avançados em matemática.
Entender como comparar frações permite organizar quantidades e tomar decisões baseadas em proporções, sendo uma ferramenta essencial em diversas situações do dia a dia, como na culinária, em projetos de construção ou ao analisar dados financeiros.
A capacidade de comparar frações é amplamente cobrada em avaliações escolares e vestibulares, incluindo o ENEM, exigindo que o estudante domine diferentes métodos para realizar essa comparação de forma eficiente.
Características da Comparação de Frações
A comparação de frações possui características específicas que facilitam sua aplicação e compreensão. Estas características guiam os métodos utilizados para determinar qual fração é maior, menor ou se são iguais.
- Base comum: Frequentemente, a comparação é facilitada ao se buscar um denominador comum para as frações.
- Simplificação: Frações podem ser simplificadas antes da comparação para torná-las mais fáceis de analisar.
- Conversão para decimal: Transformar frações em números decimais é um método alternativo e eficaz para a comparação.
- Visualização: Representações gráficas, como barras ou círculos, podem auxiliar na visualização e comparação.
- Relação com o todo: A comparação sempre considera a fração em relação ao seu inteiro.
Métodos de Comparação de Frações
Existem diversas estratégias para comparar frações, cada uma adequada a diferentes situações. A escolha do método muitas vezes depende da relação entre os numeradores e denominadores das frações em questão.
Comparação com Denominadores Iguais
Quando duas ou mais frações possuem o mesmo denominador, a comparação se torna direta. A fração com o maior numerador será a maior.
Por exemplo, ao comparar $\frac{3}{5}$ e $\frac{4}{5}$ , como ambas têm o mesmo denominador (5), basta comparar os numeradores. Como 4 é maior que 3, então $\frac{4}{5}$ é maior que $\frac{3}{5}$ .
$\frac{4}{5} > \frac{3}{5}$
Comparação com Numeradores Iguais
Se as frações tiverem o mesmo numerador, a fração com o menor denominador será a maior. Isso ocorre porque o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido; quanto menor o denominador, maiores são essas partes.
Para comparar $\frac{2}{3}$ e $\frac{2}{5}$ , observamos que os numeradores são iguais (2). O denominador 3 é menor que 5, o que significa que as partes divididas em 3 são maiores do que as partes divididas em 5. Portanto, $\frac{2}{3}$ é maior que $\frac{2}{5}$ .
$\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$
Comparação com Denominadores Diferentes (Método do Mínimo Múltiplo Comum – MMC)
Quando as frações possuem denominadores diferentes e os numeradores também são diferentes, o método mais comum e seguro é transformar as frações em frações equivalentes com um denominador comum. O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores é o menor denominador comum possível.
Exemplo: Comparar $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$ .
- Encontrar o MMC dos denominadores 3 e 4:
O MMC de 3 e 4 é 12. - Transformar as frações em equivalentes com denominador 12:
Para $\frac{2}{3}$ : Qual número multiplicado por 3 resulta em 12? É 4. Então, multiplicamos o numerador e o denominador por 4:
$\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$Para $\frac{3}{4}$ : Qual número multiplicado por 4 resulta em 12? É 3. Então, multiplicamos o numerador e o denominador por 3:
$\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ - Comparar as novas frações:
Agora comparamos $\frac{8}{12}$ e $\frac{9}{12}$ . Como os denominadores são iguais, comparamos os numeradores. Como 9 é maior que 8, $\frac{9}{12}$ é maior que $\frac{8}{12}$ .Portanto, $\frac{3}{4}$ é maior que $\frac{2}{3}$ .
$\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$
Comparação com Denominadores Diferentes (Método da Multiplicação Cruzada)
Este método é uma simplificação do uso do MMC, ideal para comparar apenas duas frações. Multiplica-se o numerador de uma fração pelo denominador da outra, e vice-versa.
Exemplo: Comparar $\frac{2}{5}$ e $\frac{3}{7}$ .
- Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda:
$2 \times 7 = 14$ - Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira:
$3 \times 5 = 15$ - Compare os resultados:
Comparamos 14 e 15. Como 15 é maior que 14, a fração cujo numerador foi multiplicado pelo outro denominador (ou seja, $\frac{3}{7}$ ) é a maior.Portanto, $\frac{3}{7}$ é maior que $\frac{2}{5}$ .
$\frac{3}{7} > \frac{2}{5}$
Este método funciona porque, essencialmente, você está encontrando denominadores comuns (o produto dos denominadores originais) para ambas as frações e, em seguida, comparando os novos numeradores.
Comparação com Números Decimais
Outra forma eficaz de comparar frações é convertê-las para sua representação decimal. Isso é particularmente útil quando as frações resultam em decimais finitos e fáceis de comparar.
Exemplo: Comparar $\frac{3}{8}$ e $\frac{2}{5}$ .
- Converter as frações em decimais:
Para $\frac{3}{8}$ : $3 \div 8 = 0.375$
Para $\frac{2}{5}$ : $2 \div 5 = 0.4$ - Comparar os números decimais:
Comparamos 0.375 e 0.4. Como 0.4 é maior que 0.375, então $\frac{2}{5}$ é maior que $\frac{3}{8}$ .
$\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$
Comparação com Frações de Referência (1/2, 1, etc.)
Às vezes, podemos comparar frações observando sua relação com números conhecidos, como 0, $\frac{1}{2}$ ou 1.
- Uma fração própria é menor que 1.
- Uma fração imprópria é maior ou igual a 1.
- Uma fração com numerador igual à metade do denominador é igual a $\frac{1}{2}$ .
Exemplo: Comparar $\frac{5}{12}$ e $\frac{7}{10}$ .
- $\frac{5}{12}$ : O numerador (5) é menor que a metade do denominador (12/2 = 6). Portanto, $\frac{5}{12}$ é menor que $\frac{1}{2}$ .
- $\frac{7}{10}$ : O numerador (7) é maior que a metade do denominador (10/2 = 5). Portanto, $\frac{7}{10}$ é maior que $\frac{1}{2}$ .
Como $\frac{5}{12}$ é menor que $\frac{1}{2}$ e $\frac{7}{10}$ é maior que $\frac{1}{2}$ , concluímos que $\frac{7}{10}$ é maior que $\frac{5}{12}$ .
$\frac{7}{10} > \frac{5}{12}$
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM 2021) Uma pessoa comprou um pacote de arroz com $\frac{3}{4}$ kg e outro com $\frac{2}{3}$ kg. Para saber qual pacote é mais vantajoso, ela precisa comparar as frações. Qual pacote é o maior?
- a) O pacote com $\frac{3}{4}$ kg
- b) O pacote com $\frac{2}{3}$ kg
- c) Os pacotes têm o mesmo peso
- d) Não é possível comparar
- e) Depende da marca do arroz
Resposta: Alternativa a: Para comparar $\frac{3}{4}$ e $\frac{2}{3}$ , podemos usar a multiplicação cruzada: $3 \times 3 = 9$ e $2 \times 4 = 8$ . Como 9 é maior que 8, a fração $\frac{3}{4}$ é maior.
2. (OBMEP 2019) Qual das seguintes frações é a menor: $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{5}$ , $\frac{3}{7}$ , $\frac{4}{9}$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{2}{5}$
- c) $\frac{3}{7}$
- d) $\frac{4}{9}$
- e) Todas são iguais
Resposta: Alternativa c: Vamos comparar as frações duas a duas ou convertê-las para decimais:
$\frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{3}{7} \approx 0.42857$
$\frac{4}{9} \approx 0.44444$
Comparando os decimais, 0.42857 ( $\frac{3}{7}$ ) é o menor valor entre eles.
3. (Vestibular Unicamp) Ordene as seguintes frações em ordem crescente: $\frac{5}{6}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{7}{9}$ .
- a) $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{5}{6}$
- b) $\frac{1}{2}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{5}{6}$
- c) $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{7}{9}$
- d) $\frac{5}{6}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$
- e) $\frac{1}{2}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{7}{9}$
Resposta: Alternativa a: Vamos encontrar o MMC dos denominadores 6, 3, 2 e 9. O MMC é 18.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 9}{2 \times 9} = \frac{9}{18}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}$
Em ordem crescente de numeradores (9, 12, 14, 15), temos: $\frac{9}{18}$ , $\frac{12}{18}$ , $\frac{14}{18}$ , $\frac{15}{18}$ , que correspondem a $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{5}{6}$ .