Áreas das figuras planas
A área de uma figura plana é a medida da extensão de uma superfície bidimensional, ou seja, o “tamanho” de uma região delimitada por linhas fechadas. No contexto da geometria, calcular a área é fundamental para compreender o espaço e resolver problemas práticos e teóricos.
Compreender as fórmulas e aplicações das áreas das figuras planas é essencial não apenas para o estudo da matemática, mas também para diversas situações do dia a dia, como calcular a quantidade de piso para um cômodo, a tinta para pintar uma parede ou a grama para um jardim. Além disso, este tema é constantemente cobrado em exames como o ENEM e diversos vestibulares, exigindo dos estudantes um domínio sólido dos conceitos e das técnicas de cálculo.
Este guia abordará as principais figuras planas, suas respectivas fórmulas de área e exemplos práticos, facilitando seu aprendizado e preparação para os desafios acadêmicos.
O que é Área?
Área é a medida da superfície ocupada por uma figura geométrica. Diferente do perímetro, que mede o comprimento do contorno de uma figura, a área mede o espaço interno, a “quantidade de plano” que a figura cobre. Pense em uma folha de papel: o perímetro seria o comprimento da borda da folha, enquanto a área seria a quantidade de superfície do papel disponível para escrever ou desenhar.
Essa medida é sempre expressa em unidades quadradas, refletindo o fato de que estamos medindo um espaço bidimensional.
Unidades de Medida de Área
As unidades de medida de área são derivadas das unidades de comprimento. As mais comuns incluem:
- Centímetro quadrado (cm²): Usado para superfícies pequenas.
- Metro quadrado (m²): A unidade padrão do Sistema Internacional (SI) para medir áreas, amplamente utilizada para terrenos, casas e pisos.
- Quilômetro quadrado (km²): Utilizado para medir grandes superfícies, como cidades, estados ou países.
Existem também outras unidades, como o milímetro quadrado (mm²), o decímetro quadrado (dm²), o decâmetro quadrado (dam²), o hectômetro quadrado (hm²) e, para áreas rurais, o hectare (ha), onde 1 hectare = 10.000 m².
Para converter entre unidades de área, lembre-se que cada “salto” na tabela de unidades de comprimento (m, dm, cm) corresponde a um fator de 100 (10²) para as unidades de área (m², dm², cm²). Por exemplo, 1 m² = 100 dm² = 10.000 cm².
Áreas das Principais Figuras Planas
Conhecer as fórmulas para calcular as áreas das figuras planas básicas é o primeiro passo para resolver problemas mais complexos. Vamos explorar cada uma delas.
Quadrado
Um quadrado é um polígono que possui quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos retos (90°).
A área de um quadrado é calculada multiplicando-se a medida de um lado por ele mesmo.
Fórmula:
A = l × l = l²
Onde:
Aé a árealé a medida do lado
Exemplo:
Calcule a área de um quadrado com lado medindo 5 cm.
A = 5 cm × 5 cm
A = 25 cm²
Retângulo
Um retângulo é um polígono que possui quatro lados, com lados opostos de mesma medida e quatro ângulos internos retos (90°). Ele é caracterizado por um comprimento (base) e uma largura (altura).
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se o comprimento da base pela altura.
Fórmula:
A = b × h
Onde:
Aé a áreabé a medida da basehé a medida da altura
Exemplo:
Um terreno retangular tem 12 metros de comprimento e 8 metros de largura. Qual é a sua área?
A = 12 m × 8 m
A = 96 m²
Triângulo
Um triângulo é um polígono de três lados e três ângulos. A área de um triângulo é equivalente à metade da área de um paralelogramo (ou retângulo) que possui a mesma base e altura.
Fórmula:
A = (b × h)/2
Onde:
Aé a áreabé a medida da basehé a medida da altura (a distância perpendicular da base ao vértice oposto)
Exemplo:
Um triângulo possui uma base de 10 cm e uma altura de 7 cm. Calcule sua área.
A = (10 cm × 7 cm)/2
A = 70 cm²/2
A = 35 cm²
Círculo
O círculo é uma figura plana formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância (o raio) de um ponto central. Diferente dos polígonos, o círculo não tem lados retos.
A área do círculo depende do seu raio e da constante matemática π (pi), aproximadamente 3,14159.
Fórmula:
A = π × r²
Onde:
Aé a áreaπ(pi) é uma constante (aproximadamente 3,14)ré a medida do raio
Exemplo:
Calcule a área de uma pizza com 20 cm de raio (use π ≈ 3,14).
A = 3,14 × (20 cm)²
A = 3,14 × 400 cm²
A = 1256 cm²
Paralelogramo
Um paralelogramo é um quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos. Retângulos e quadrados são casos especiais de paralelogramos.
A área de um paralelogramo é calculada multiplicando-se a medida da base pela medida da altura relativa a essa base.
Fórmula:
A = b × h
Onde:
Aé a áreabé a medida da basehé a medida da altura (distância perpendicular entre as bases paralelas)
Exemplo:
Um paralelogramo tem uma base de 8 metros e uma altura de 4 metros. Qual é a sua área?
A = 8 m × 4 m
A = 32 m²
Trapézio
Um trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados paralelos, chamados de bases (base maior B e base menor b), e dois lados não paralelos.
A área de um trapézio é calculada somando-se as duas bases, multiplicando-se pela altura e dividindo-se por dois.
Fórmula:
A = (B + b) × h/2
Onde:
Aé a áreaBé a medida da base maiorbé a medida da base menorhé a medida da altura (distância perpendicular entre as bases)
Exemplo:
Um trapézio tem base maior de 10 cm, base menor de 6 cm e altura de 5 cm. Determine sua área.
A = (10 cm + 6 cm) × 5 cm/2
A = 16 cm × 5 cm/2
A = 80 cm²/2
A = 40 cm²
Losango
Um losango é um quadrilátero que possui os quatro lados de mesma medida. Suas diagonais são perpendiculares e se cruzam no ponto médio.
A área de um losango é calculada multiplicando-se as medidas das duas diagonais (diagonal maior D e diagonal menor d) e dividindo-se por dois.
Fórmula:
A = D × d/2
Onde:
Aé a áreaDé a medida da diagonal maiordé a medida da diagonal menor
Exemplo:
Um losango tem diagonal maior medindo 10 metros e diagonal menor medindo 6 metros. Calcule sua área.
A = 10 m × 6 m/2
A = 60 m²/2
A = 30 m²
Áreas de Figuras Compostas
Muitas vezes, as figuras que encontramos na vida real ou em problemas de geometria não são simples quadrados ou círculos, mas sim combinações dessas formas básicas. Para calcular a área de figuras compostas, a estratégia principal é decompor a figura complexa em figuras planas mais simples, das quais conhecemos as fórmulas de área.
Por exemplo, um “L” pode ser visto como um retângulo maior do qual um retângulo menor foi removido, ou como a soma de dois retângulos menores. A área total será a soma (ou subtração) das áreas das partes.
Exemplo:
Calcule a área de uma figura em forma de “L” que pode ser dividida em dois retângulos: um com 8 cm de comprimento por 3 cm de largura e outro com 5 cm de comprimento por 2 cm de largura.
A1 (Retângulo 1) = 8 cm × 3 cm = 24 cm²
A2 (Retângulo 2) = 5 cm × 2 cm = 10 cm²
Área Total = A1 + A2 = 24 cm² + 10 cm² = 34 cm²
Aplicações Práticas do Cálculo de Área
As áreas das figuras planas são conceitos que se manifestam constantemente em nosso cotidiano e em diversas profissões.
- Construção Civil: Arquitetos e engenheiros utilizam o cálculo de área para dimensionar espaços, planejar cômodos, calcular a quantidade de material (pisos, azulejos, tintas, telhas) e estimar custos de projetos.
- Agricultura: Agrônomos usam áreas para calcular a extensão de plantações, a quantidade de fertilizantes ou sementes necessárias e a produtividade de lavouras.
- Design de Interiores: Profissionais dessa área aplicam o conceito de área para planejar a disposição de móveis, tapetes e revestimentos em ambientes.
- Cartografia: Na elaboração de mapas, o cálculo de áreas de regiões geográficas é fundamental para representar o espaço de forma precisa.
- Mecânica: Na engenharia mecânica, a área da seção transversal de peças é crucial para determinar sua resistência e desempenho.
Conhecer as áreas das figuras planas permite resolver problemas práticos de otimização de recursos e planejamento de espaços de forma eficiente.
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2022)
Um jardineiro precisa cobrir com grama um terreno no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 metros e 5 metros. Se cada rolo de grama cobre uma área de 10 m², quantos rolos de grama o jardineiro precisará comprar para cobrir todo o terreno?
- a) 2 rolos
- b) 3 rolos
- c) 4 rolos
- d) 5 rolos
- e) 6 rolos
Resposta: Alternativa b: Primeiro, calculamos a área do terreno triangular. A área de um triângulo retângulo é (cateto1 × cateto2) / 2.
A = (12 m × 5 m) / 2 = 60 m² / 2 = 30 m².
Como cada rolo de grama cobre 10 m², o número de rolos necessários será 30 m² / 10 m²/rolo = 3 rolos.
2. (UNESP-2021)
Um cômodo tem o formato de um quadrado com 6 metros de lado. Deseja-se colocar um tapete circular no centro desse cômodo, de modo que o tapete tenha um raio de 2 metros. Qual será a área do piso que não será coberta pelo tapete (em m²)? (Use π = 3,14).
- a) 36 m²
- b) 12,56 m²
- c) 23,44 m²
- d) 20 m²
- e) 18,84 m²
Resposta: Alternativa c: Primeiro, calculamos a área do cômodo quadrado: Aquadrado = l² = (6 m)² = 36 m².
Em seguida, calculamos a área do tapete circular: Acírculo = π × r² = 3,14 × (2 m)² = 3,14 × 4 m² = 12,56 m².
A área do piso não coberta pelo tapete é a diferença entre a área do cômodo e a área do tapete: Anão coberta = Aquadrado – Acírculo = 36 m² – 12,56 m² = 23,44 m².