Estratégias para resolver problemas matemáticos
As estratégias para resolver problemas matemáticos são métodos e abordagens sistemáticas que auxiliam na compreensão e solução de desafios que envolvem raciocínio lógico e cálculos. Essas estratégias são fundamentais para que estudantes do Ensino Fundamental, Médio e vestibulandos possam desenvolver a capacidade de enfrentar questões complexas de forma organizada e eficiente.
Para ter sucesso na resolução de um problema, não basta apenas conhecer as fórmulas e operações; é preciso saber como aplicá-las em diferentes contextos. Uma boa estratégia transforma um problema aparentemente difícil em uma sequência de passos gerenciáveis, facilitando a identificação dos dados, a escolha das operações e a verificação do resultado.
Aprender essas estratégias é crucial para o desempenho em avaliações como o ENEM e outros vestibulares, que frequentemente apresentam problemas que exigem mais do que o simples cálculo, mas sim a interpretação e a aplicação do raciocínio matemático em situações-problema.
As Quatro Fases de Resolução de Problemas
O matemático George Polya propôs um modelo clássico de resolução de problemas, desdobrando-o em quatro fases principais. Entender e aplicar essas fases é uma das mais eficientes estratégias para resolver problemas matemáticos.
1. Compreender o Problema
A primeira e mais crítica fase é garantir que o problema seja completamente entendido. Muitos erros ocorrem porque o estudante não soube exatamente o que era pedido ou quais informações eram relevantes.
- Ler o problema com atenção: Ler mais de uma vez, se necessário.
- Identificar os dados: Quais informações são fornecidas?
- Identificar a pergunta: O que o problema quer que você descubra?
- Reescrever o problema com suas palavras: Isso ajuda na compreensão.
- Desenhar ou esquematizar: Uma representação visual pode clarificar a situação.
2. Elaborar um Plano
Após a compreensão, a próxima etapa é planejar como você vai resolver o problema. Aqui, você define a sequência de ações a serem tomadas.
- Conectar com problemas semelhantes: Você já resolveu algo parecido antes?
- Tentar diferentes caminhos: Que operações ou fórmulas podem ser úteis?
- Trabalhar de trás para frente: Se você soubesse a resposta, como chegaria a ela?
- Simplificar o problema: Se o problema for muito complexo, tente resolver uma versão mais simples primeiro.
- Fazer uma lista de passos: Organize sua estratégia em etapas claras.
3. Executar o Plano
Com um plano em mente, é hora de colocá-lo em prática. É importante seguir os passos definidos e ter atenção aos detalhes.
- Realizar os cálculos: Execute as operações necessárias.
- Manter-se organizado: Anote cada passo claramente para facilitar a revisão.
- Se errar, não desista: Revisite o plano, tente identificar onde a estratégia falhou e ajuste.
- Verificar cada etapa: Certifique-se de que cada cálculo ou raciocínio esteja correto.
4. Revisar e Verificar
A fase final é crucial para garantir que a solução encontrada é correta e faz sentido no contexto do problema.
- Verificar a resposta: A resposta faz sentido? Ela é razoável?
- Usar o inverso: Se você somou, subtraia; se multiplicou, divida para verificar.
- Conferir todos os passos: Cada etapa do plano foi executada corretamente?
- Responder à pergunta original: A sua resposta realmente responde ao que foi perguntado no problema?
Estratégias Comuns para Resolução de Problemas
Além das fases de Polya, existem diversas estratégias específicas que podem ser aplicadas dentro de cada fase, especialmente na elaboração do plano.
1. Desenhar Diagramas ou Imagens
Representar visualmente o problema pode desmistificá-lo e ajudar a identificar relações e informações importantes que não eram tão claras apenas com as palavras.
Exemplo:
Um terreno retangular tem 10 metros de comprimento por 5 metros de largura. Se você quiser cercá-lo com 3 fios de arame, quantos metros de arame serão necessários?
Desenhar o retângulo e os fios de arame em volta dele visualiza a necessidade de calcular o perímetro e multiplicá-lo por 3.
2. Procurar Padrões
Muitos problemas, especialmente em sequências ou questões de lógica, envolvem padrões que, uma vez identificados, simplificam enormemente a solução.
Exemplo:
Qual o próximo número na sequência: 2, 4, 8, 16, …?
Ao analisar a sequência, percebe-se que cada número é o dobro do anterior (multiplicação por 2). O próximo seria 32.
3. Fazer uma Lista ou Tabela
Organizar os dados fornecidos em uma lista ou tabela ajuda a visualizar informações complexas ou muitas variáveis, facilitando a identificação de relações.
Exemplo:
Em uma turma, 15 alunos jogam futebol, 10 jogam basquete e 5 jogam ambos. Quantos alunos jogam apenas futebol?
| Atividade | Quantidade |
|---|---|
| Futebol | 15 |
| Basquete | 10 |
| Ambos | 5 |
A partir da tabela, percebe-se que Apenas Futebol = Total Futebol - Ambos = 15 - 5 = 10.
4. Trabalhar de Trás para Frente
Esta estratégia é útil quando o resultado final é conhecido e você precisa descobrir o ponto de partida ou um passo anterior.
Exemplo:
Pensei em um número, multipliquei por 2, somei 5 e o resultado foi 19. Qual número pensei?
- Última operação: somar 5. Inverso: subtrair 5 de 19 = 14.
- Penúltima operação: multiplicar por 2. Inverso: dividir 14 por 2 = 7.
- O número pensado foi 7.
5. Julgamento Lógico e Tentativa e Erro
Em alguns casos, especialmente quando o número de possibilidades é limitado, tentar solucionar por tentativa e erro, com um julgamento lógico, pode ser eficaz.
Exemplo:
Qual é o número inteiro entre 1 e 10 que, multiplicado por 3 e subtraído de 5, resulta em um número maior que 10 e menor que 15?
Testando valores:
- Se for 5: (5 * 3) – 5 = 15 – 5 = 10 (não é maior que 10)
- Se for 6: (6 * 3) – 5 = 18 – 5 = 13 (é maior que 10 e menor que 15)
- O número é 6.
6. Simplificar o Problema
Se o problema parece muito grande ou com números muito complexos, tente resolvê-lo com números menores ou uma versão mais simples para entender a lógica.
Exemplo:
Calcule a soma dos números de 1 a 100.
Simplifique: Qual a soma dos números de 1 a 10? (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6) = 11 * 5 = 55. Percebe-se um padrão (número de pares * soma).
Agora, para 1 a 100: (1+100) * (100/2) = 101 * 50 = 5050.
Exercícios com Gabarito
Estas estratégias para resolver problemas matemáticos são frequentemente cobradas em exames e vestibulares, exigindo não apenas conhecimento de fórmulas, mas também raciocínio aplicável.
1. (ENEM-2022)
Uma loja de bolos vende tortas em fatias e inteiras. Uma torta inteira custa R$ 60,00 e pode ser dividida em 8 fatias iguais. Uma promoção oferece 3 fatias por R$ 20,00. João precisa de 7 fatias. Qual a opção mais econômica para ele?
- a) Comprar a torta inteira.
- b) Comprar 3 fatias na promoção e 4 fatias avulsas.
- c) Comprar 2 promoções de 3 fatias e uma fatia avulsa.
- d) Comprar 1 promoção de 3 fatias e 4 fatias avulsas.
- e) Comprar 2 promoções de 3 fatias e não comprar a sétima fatia, pois ele só possui o dinheiro para 6 fatias.
Resposta: Alternativa c:
- Preço por fatia avulsa da torta inteira: R$ 60,00 / 8 fatias = R$ 7,50 por fatia.
- Comprar 7 fatias:
- Opção a) Torta inteira: R$ 60,00 (sobra 1 fatia).
- Opção c) 2 promoções (6 fatias) = R$ 20,00 + R$ 20,00 = R$ 40,00. Falta 1 fatia. Compra avulsa: R$ 7,50. Total: R$ 40,00 + R$ 7,50 = R$ 47,50.
Comparando R$ 60,00 com R$ 47,50, a opção mais econômica é a “c”.
2. (VUNESP-2021)
Em uma competição de arremesso de peso, um atleta iniciou com um arremesso de 12 metros. A cada arremesso subsequente, ele aumenta a distância em 1,5 metros em relação ao anterior. Se ele fez um total de 5 arremessos, qual foi a distância do seu último arremesso?
- a) 15,0 metros
- b) 16,5 metros
- c) 18,0 metros
- d) 19,5 metros
- e) 21,0 metros
Resposta: Alternativa c:
- Primeiro arremesso: 12,0 m
- Segundo arremesso: 12,0 + 1,5 = 13,5 m
- Terceiro arremesso: 13,5 + 1,5 = 15,0 m
- Quarto arremesso: 15,0 + 1,5 = 16,5 m
- Quinto arremesso: 16,5 + 1,5 = 18,0 m
A distância do quinto e último arremesso foi de 18,0 metros.