Equações logarítmicas
Uma equação logarítmica é uma equação que possui a variável no logaritmando ou na base de um logaritmo. Para resolvê-las, é fundamental aplicar as propriedades dos logaritmos e a definição de logaritmo, além de sempre verificar as condições de existência. Existem três diferentes tipos de equações logarítmicas, sendo um deles a igualdade entre dois ou mais logaritmos de mesma base.
Elas são um tópico essencial em matemática, frequentemente abordado em provas de Ensino Médio, vestibulares e no ENEM, exigindo compreensão sólida dos conceitos de logaritmo.
Características
As principais características de uma equação logarítmica são:
- A variável (incógnita) aparece no logaritmando ou na base do logaritmo.
- A aplicação das propriedades operatórias dos logaritmos é crucial para sua resolução.
- É obrigatório verificar as condições de existência dos logaritmos envolvidos.
- A resolução frequentemente se reduz a uma equação exponencial ou algébrica mais simples.
- A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1.
- O logaritmando (argumento do logaritmo) deve ser sempre positivo.
Condições de Existência do Logaritmo
Antes de resolver qualquer equação logarítmica, é crucial estabelecer as condições de existência (CE) para que os logaritmos envolvidos sejam válidos. As condições são:
- Logaritmando (ou argumento): Deve ser sempre positivo. Se o logaritmando for uma expressão algébrica, ela deve ser maior que zero.
- Base: Deve ser positiva e diferente de 1. Se a base for uma expressão algébrica, ela deve satisfazer $b > 0$ e $b \neq 1$.
Por exemplo, no logaritmo $log_b a$:
- $a > 0$
- $b > 0$ e $b \neq 1$
Importância da Verificação
Após encontrar as possíveis soluções para a equação, é obrigatório verificar se essas soluções satisfazem as condições de existência. Qualquer valor que não satisfaça as condições deve ser descartado, pois não faz parte do conjunto solução da equação original.
Tipos de Equações logarítmicas
Existem três tipos principais de equações logarítmicas, cada um com sua abordagem de resolução.
Tipo 1: Definição de Logaritmo
Este tipo envolve uma única equação logarítmica que pode ser resolvida diretamente pela definição de logaritmo: $log_b a = x \iff b^x = a$.
Exemplo:
Resolva a equação $log_2 (3x – 1) = 4$.
Resolução:
Primeiro, estabelecemos as condições de existência:
$3x – 1 > 0 \implies 3x > 1 \implies x > 1/3$.
Agora, aplicamos a definição de logaritmo:
$2^4 = 3x – 1$
$16 = 3x – 1$
$16 + 1 = 3x$
$17 = 3x$
$x = 17/3$
Verificamos a solução com a CE: $17/3 \approx 5.67$, que é maior que $1/3$. Portanto, a solução é válida.
Conjunto Solução: $S = \{17/3\}$
Tipo 2: Igualdade de Logaritmos na Mesma Base
Neste tipo, temos uma igualdade entre dois ou mais logaritmos que possuem a mesma base: $log_b f(x) = log_b g(x)$. Se as bases são iguais, então os logaritmandos também devem ser iguais, ou seja, $f(x) = g(x)$.
Exemplo:
Resolva a equação $log_5 (x^2 – x) = log_5 (6)$.
Resolução:
Condições de existência:
$x^2 – x > 0 \implies x(x – 1) > 0$. As raízes são $x=0$ e $x=1$. Analisando o sinal, $x < 0$ ou $x > 1$.
Agora, igualamos os logaritmandos:
$x^2 – x = 6$
$x^2 – x – 6 = 0$
Usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando:
$(x – 3)(x + 2) = 0$
As soluções são $x = 3$ ou $x = -2$.
Verificação com as condições de existência ($x < 0$ ou $x > 1$):
- Para $x = 3$: $3 > 1$, então $x=3$ é uma solução válida.
- Para $x = -2$: $-2 < 0$, então $x=-2$ é uma solução válida.
Conjunto Solução: $S = \{-2, 3\}$
Tipo 3: Utilização de Propriedades dos Logaritmos e Substituição
Este tipo envolve equações que necessitam da aplicação das propriedades operatórias dos logaritmos para simplificá-las, ou de uma substituição de variável para transformá-las em um formato mais conhecido (como uma equação do 2º grau).
Exemplo:
Resolva a equação $log_3 x + log_3 (x – 2) = 1$.
Resolução:
Condições de existência:
$x > 0$ e $x – 2 > 0 \implies x > 2$.
A intersecção das condições é $x > 2$.
Aplicamos a propriedade da soma de logaritmos: $log_b A + log_b B = log_b (A \cdot B)$.
$log_3 (x \cdot (x – 2)) = 1$
$log_3 (x^2 – 2x) = 1$
Agora, aplicamos a definição de logaritmo:
$3^1 = x^2 – 2x$
$3 = x^2 – 2x$
$x^2 – 2x – 3 = 0$
Resolvendo a equação do 2º grau (por fatoração):
$(x – 3)(x + 1) = 0$
As soluções são $x = 3$ ou $x = -1$.
Verificação com as condições de existência ($x > 2$):
- Para $x = 3$: $3 > 2$, então $x=3$ é uma solução válida.
- Para $x = -1$: $-1$ não é maior que $2$, então $x=-1$ é uma solução inválida.
Conjunto Solução: $S = \{3\}$
Exemplo de Equação Logarítmica com Substituição
Para compreender melhor, veja o exemplo abaixo que requer uma substituição de variável:
Exemplo:
Resolva a equação $log_2^2 x – 5 log_2 x + 6 = 0$.
Resolução:
Condições de existência: $x > 0$.
Esta equação pode ser vista como uma equação do 2º grau se fizermos uma substituição.
Seja $y = log_2 x$. Substituindo na equação, temos:
$y^2 – 5y + 6 = 0$
Resolvendo a equação do 2º grau para $y$ (usando soma e produto ou Bhaskara):
Soma das raízes: $S = -(-5)/1 = 5$
Produto das raízes: $P = 6/1 = 6$
Os números que somados dão 5 e multiplicados dão 6 são 2 e 3.
Então, $y = 2$ ou $y = 3$.
Agora, voltamos à substituição $y = log_2 x$:
- Para $y = 2$:
$log_2 x = 2$
Aplicando a definição de logaritmo:
$x = 2^2 \implies x = 4$. - Para $y = 3$:
$log_2 x = 3$
Aplicando a definição de logaritmo:
$x = 2^3 \implies x = 8$.
Verificamos as soluções com a condição de existência ($x > 0$):
- Para $x=4$: $4 > 0$, válida.
- Para $x=8$: $8 > 0$, válida.
Conjunto Solução: $S = \{4, 8\}$
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2022)
A escala Richter é utilizada para medir a magnitude de um terremoto. Essa escala, de base 10, mede a energia liberada por um terremoto. Para calcular a magnitude (M) de um terremoto, usa-se a fórmula $M = log_{10} (E/E_0)$, onde E é a energia liberada pelo terremoto e $E_0$ é uma energia de referência. Se um terremoto de magnitude 5 liberar uma energia 1000 vezes maior que a energia de outro terremoto, qual a magnitude do segundo terremoto?
- a) 2
- b) 3
- c) 5
- d) 8
- e) 10
Resposta: Alternativa b: Seja $M_1$ a magnitude do primeiro terremoto e $M_2$ a do segundo.
$M_1 = log_{10} (E_1/E_0)$
$M_2 = log_{10} (E_2/E_0)$
Sabemos que $M_1 = 5$ e $E_1 = 1000 \cdot E_2$.
Então, $5 = log_{10} (1000 \cdot E_2 / E_0)$.
Pela propriedade do logaritmo do produto, $log_{10} (A \cdot B) = log_{10} A + log_{10} B$:
$5 = log_{10} (1000) + log_{10} (E_2 / E_0)$
$5 = 3 + log_{10} (E_2 / E_0)$
$log_{10} (E_2 / E_0) = 5 – 3$
$log_{10} (E_2 / E_0) = 2$
Como $M_2 = log_{10} (E_2 / E_0)$, temos $M_2 = 2$.
2. (UNESP-2019)
O valor de $x$ que satisfaz a equação $log_2 (x – 1) + log_2 (x + 1) = 3$ é:
- a) $\sqrt{2}$
- b) $\sqrt{5}$
- c) 3
- d) $\sqrt{10}$
- e) 5
Resposta: Alternativa c:
Condições de existência:
$x – 1 > 0 \implies x > 1$
$x + 1 > 0 \implies x > -1$
Intersecção: $x > 1$
Aplicando a propriedade da soma de logaritmos:
$log_2 ((x – 1)(x + 1)) = 3$
$log_2 (x^2 – 1) = 3$
Aplicando a definição de logaritmo:
$2^3 = x^2 – 1$
$8 = x^2 – 1$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$
Verificação com a CE ($x > 1$):
- Para $x = 3$: $3 > 1$, válida.
- Para $x = -3$: $-3$ não é maior que $1$, inválida.
Portanto, a solução é $x = 3$.