Circunferência analítica
A circunferência analítica é o conjunto de todos os pontos em um plano cartesiano que estão a uma distância fixa, chamada raio, de um ponto fixo, chamado centro. Na geometria analítica, a circunferência é representada por uma equação matemática, permitindo sua análise e manipulação através de coordenadas.
Este conceito é fundamental para a compreensão de diversas aplicações em matemática, física e engenharia, como em movimentos circulares, trajetórias e análise de sinais. Dominar a equação da circunferência analítica facilita a resolução de problemas que envolvem círculos em diferentes contextos.
Compreender a circunferência analítica não só consolida o aprendizado em geometria, mas também desenvolve o raciocínio lógico e a capacidade de visualização espacial, habilidades essenciais para o sucesso em provas como o ENEM e vestibulares.
Equação da Circunferência
A forma mais comum de representar uma circunferência no plano cartesiano é através de sua equação. Existem duas formas principais: a equação reduzida e a equação geral.
Equação Reduzida
A equação reduzida da circunferência é obtida diretamente da definição geométrica e da fórmula da distância entre dois pontos. Se uma circunferência tem centro nas coordenadas $(h, k)$ e raio $r$, a equação reduzida é dada por:
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
Onde:
- $(x, y)$ representa as coordenadas de qualquer ponto sobre a circunferência.
- $(h, k)$ são as coordenadas do centro da circunferência.
- $r$ é o raio da circunferência.
Esta equação é extremamente útil, pois permite identificar o centro e o raio da circunferência de forma imediata.
Equação Geral
A partir da equação reduzida, podemos expandir os termos quadráticos para obter a equação geral da circunferência. Ao desenvolver $(x – h)^2$ e $(y – k)^2$, e rearranjar os termos, obtemos:
$x^2 – 2hx + h^2 + y^2 – 2ky + k^2 = r^2$
Reorganizando, temos:
$x^2 + y^2 – 2hx – 2ky + (h^2 + k^2 – r^2) = 0$
Essa equação é geralmente apresentada na forma:
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$
Onde $a = -2h$, $b = -2k$ e $c = h^2 + k^2 – r^2$. Para que esta equação represente uma circunferência, é necessário que $h^2 + k^2 – r^2 > 0$, o que implica que $r = \sqrt{h^2 + k^2 – c}$ seja um número real positivo.
Elementos da Circunferência
Os elementos essenciais para definir e descrever uma circunferência são o centro e o raio.
Centro
O centro da circunferência, denotado por $C(h, k)$, é o ponto fixo a partir do qual todos os pontos da circunferência distam igualmente. Na equação reduzida, as coordenadas $(h, k)$ são explicitamente visíveis. Na equação geral, o centro pode ser encontrado pelas relações $h = -a/2$ e $k = -b/2$.
Raio
O raio, denotado por $r$, é a distância constante de qualquer ponto da circunferência ao seu centro. Na equação reduzida, o raio é explicitamente o valor $r$ (e não $r^2$). Na equação geral, o raio é calculado por $r = \sqrt{h^2 + k^2 – c}$. Se o valor sob a raiz quadrada for negativo, não há circunferência; se for zero, a circunferência se degenera em um único ponto.
Como determinar a Equação da Circunferência
Para determinar a equação de uma circunferência, geralmente são fornecidas informações sobre seu centro e raio, ou outros pontos e relações que permitem deduzi-los.
Dados: Centro e Raio
Este é o cenário mais direto. Se o centro $C(h, k)$ e o raio $r$ são conhecidos, basta substituí-los na equação reduzida:
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
Dados: Centro e um Ponto
Se o centro $C(h, k)$ é conhecido e um ponto $P(x_1, y_1)$ sobre a circunferência é dado, o raio $r$ pode ser calculado como a distância entre o centro e o ponto P. Utiliza-se a fórmula da distância:
$r = \sqrt{(x_1 – h)^2 + (y_1 – k)^2}$
Após calcular $r$, a equação reduzida pode ser escrita.
Dados: Dois Pontos (Extremidades de um Diâmetro)
Se dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ são as extremidades de um diâmetro da circunferência, o centro $C(h, k)$ é o ponto médio do segmento AB, e o raio $r$ é metade da distância entre A e B.
O centro $(h, k)$ é calculado como:
$h = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$k = \frac{y_1 + y_2}{2}$
O raio $r$ é a distância do centro a um dos pontos (ou metade da distância entre A e B):
$r = \sqrt{(x_1 – h)^2 + (y_1 – k)^2}$
Dados: Três Pontos Não Colineares
Se três pontos não colineares $A$, $B$ e $C$ pertencem à circunferência, podemos determinar sua equação. Uma forma é substituir as coordenadas de cada ponto na equação geral $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$, o que resultará em um sistema de três equações lineares com três incógnitas ($a$, $b$, $c$). Resolvendo o sistema, encontramos os coeficientes e, consequentemente, a equação geral da circunferência. A partir dela, podemos encontrar o centro e o raio.
Exemplos de Exercícios
Exemplo 1: Determinar a equação da circunferência
Enunciado: Encontre a equação da circunferência com centro no ponto $C(3, -2)$ e raio igual a 5.
Resolução:
Utilizamos a equação reduzida da circunferência: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$.
Substituindo os valores do centro $(h, k) = (3, -2)$ e do raio $r = 5$:
$(x – 3)^2 + (y – (-2))^2 = 5^2$
$(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$
Esta é a equação reduzida da circunferência. Para obter a equação geral, expandimos:
$(x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 25$
$x^2 – 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 – 25 = 0$
$x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0$
Resposta: A equação reduzida é $(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ e a equação geral é $x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0$.
Exemplo 2: Encontrar centro e raio a partir da equação geral
Enunciado: Dada a equação da circunferência $x^2 + y^2 – 8x + 6y – 11 = 0$, determine o centro e o raio.
Resolução:
Para encontrar o centro e o raio, vamos reescrever a equação geral na forma reduzida, completando os quadrados. Agrupamos os termos em $x$ e os termos em $y$:
$(x^2 – 8x) + (y^2 + 6y) = 11$
Completamos os quadrados para os termos em $x$: $(x^2 – 8x + 16)$. Para os termos em $y$: $(y^2 + 6y + 9)$. Adicionamos esses valores em ambos os lados da equação para manter a igualdade:
$(x^2 – 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) = 11 + 16 + 9$
$(x – 4)^2 + (y + 3)^2 = 36$
Agora a equação está na forma reduzida. Identificamos o centro $(h, k)$ e o raio $r$:
$h = 4$, $k = -3$, então o centro é $C(4, -3)$.
$r^2 = 36$, então $r = \sqrt{36} = 6$.
Resposta: O centro da circunferência é $C(4, -3)$ e o raio é $r = 6$.
Exercícios com Gabarito
1. (ENEM-2022) Uma tela de projeção circular tem seu centro localizado no ponto $C(2, 3)$ em um sistema de coordenadas cartesianas. A borda dessa tela passa pelo ponto $P(5, 7)$. Qual é a equação que descreve a borda dessa tela de projeção?
- a) $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5$
- b) $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25
- c) $(x – 5)^2 + (y – 7)^2 = 5$
- d) $(x – 5)^2 + (y – 7)^2 = 25
- e) $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25
Resposta: Alternativa b: O centro é $C(2, 3)$ e um ponto na borda é $P(5, 7)$. O raio $r$ é a distância entre $C$ e $P$.
$r^2 = (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
A equação reduzida é $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$, logo $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25$.
2. (VUNESP-2021) A equação $x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0$ representa uma circunferência. Quais são as coordenadas do centro e o raio dessa circunferência?
- a) Centro $(2, 1)$ e raio $\sqrt{4}$
- b) Centro $(-2, -1)$ e raio $\sqrt{4}$
- c) Centro $(2, 1)$ e raio $\sqrt{3}$
- d) Centro $(-2, -1)$ e raio $\sqrt{3}$
- e) Centro $(1, 2)$ e raio $\sqrt{2}$
Resposta: Alternativa a: Completando os quadrados:
$(x^2 – 4x) + (y^2 – 2y) = -1$
$(x^2 – 4x + 4) + (y^2 – 2y + 1) = -1 + 4 + 1$
$(x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 4$
O centro é $(2, 1)$ e o raio $r^2 = 4$, então $r = \sqrt{4}$.
3. (UERJ-2020) O ponto $A(-1, 2)$ e o ponto $B(3, -2)$ são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Determine a equação geral dessa circunferência.
- a) $x^2 + y^2 – 2x + 0y – 5 = 0$
- b) $x^2 + y^2 + 2x + 0y – 5 = 0$
- c) $x^2 + y^2 – 2x + 0y + 5 = 0$
- d) $x^2 + y^2 + 2x + 0y + 5 = 0$
- e) $x^2 + y^2 – 2x + 2y – 5 = 0$
Resposta: Alternativa a: O centro é o ponto médio de AB:
$h = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$k = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
O centro é $C(1, 0)$.
O raio $r$ é a distância de C a A (ou B):
$r^2 = (-1 – 1)^2 + (2 – 0)^2 = (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.
Equação reduzida: $(x – 1)^2 + (y – 0)^2 = 8$
$x^2 – 2x + 1 + y^2 = 8$
$x^2 + y^2 – 2x – 7 = 0$.