Equações do 2º grau: Descubra como resolver facilmente

Equações do 2º grau

Equações do 2º grau, também conhecidas como equações quadráticas, são equações polinomiais onde o maior expoente da incógnita é 2. Elas são fundamentais no estudo da álgebra e aparecem em diversas situações práticas e em provas como o ENEM.

Essas equações têm a forma geral ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos e a ≠ 0. O termo ax² é chamado de termo quadrático, bx de termo linear e c de termo independente. A resolução dessas equações nos permite encontrar os valores da incógnita (geralmente x) que tornam a igualdade verdadeira.

Compreender as equações do 2º grau é crucial para avançar em tópicos mais complexos da matemática e para aplicar conceitos algébricos na resolução de problemas do mundo real, como no cálculo de trajetórias, áreas e otimização de processos.

Características das Equações do 2º grau

As equações do 2º grau possuem características bem definidas que as distinguem de outros tipos de equações. A principal delas é a presença do termo de maior grau elevado à segunda potência.

As características mais importantes são:

• Grau 2: O maior expoente da variável é sempre 2.
• Forma Geral: Sempre podem ser escritas na forma ax² + bx + c = 0.
• Coeficiente ‘a’ diferente de zero: Se a=0, a equação deixa de ser do 2º grau e se torna do 1º grau.
• Possibilidade de até duas raízes reais: Uma equação do 2º grau pode ter zero, uma ou duas soluções reais para a incógnita.
• Parábola como gráfico: Ao representar graficamente uma função quadrática y = ax² + bx + c, obtemos uma parábola.

Estrutura da Equação do 2º grau

A estrutura de uma equação do 2º grau é padronizada, o que facilita sua identificação e resolução. Essa estrutura é definida pela presença e pelo papel de seus coeficientes: a, b e c.

A estrutura da equação do 2º grau geral (ax² + bx + c = 0) é composta por:

• Termo Quadrático (ax²): Este é o termo de maior grau, com a variável elevada ao quadrado. O coeficiente a determina a concavidade da parábola (para cima se a>0, para baixo se a<0) e se a equação é de fato do 2º grau.
• Termo Linear (bx): Este termo contém a variável elevada à primeira potência. O coeficiente b influencia a posição do vértice da parábola e a simetria das raízes.
• Termo Independente (c): Este é o termo constante, sem a variável. O coeficiente c representa o ponto onde a parábola cruza o eixo y.

Tipos de Equações do 2º grau

Embora a forma geral seja sempre ax² + bx + c = 0, as equações do 2º grau podem ser classificadas em completas e incompletas, dependendo da presença ou ausência dos coeficientes b e c.

Equações Completas

Uma equação do 2º grau é considerada completa quando todos os seus coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero. Nessas equações, tanto o termo quadrático, quanto o linear e o independente estão presentes.

Exemplo:

2x² + 5x - 3 = 0
Nesta equação, a=2, b=5 e c=-3. Todos os coeficientes são diferentes de zero.

A resolução de equações completas geralmente envolve o uso da fórmula de Bhaskara, que veremos mais adiante.

Equações Incompletas

Uma equação do 2º grau é incompleta quando pelo menos um dos coeficientes b ou c é igual a zero. Existem três tipos de equações incompletas:

Tipo 1: b = 0 (Equação com termo quadrático e independente)

Neste caso, a equação assume a forma ax² + c = 0. Para resolver, isolamos o termo ax² e, em seguida, a variável x.

Exemplo:

3x² - 12 = 0
Isolando 3x²: 3x² = 12
Dividindo por 3: x² = 4
Tirando a raiz quadrada: x = ±√4, o que resulta em x = 2 e x = -2.

Tipo 2: c = 0 (Equação com termo quadrático e linear)

Aqui, a equação tem a forma ax² + bx = 0. A resolução é feita colocando x em evidência.

Exemplo:

x² + 4x = 0
Colocando x em evidência: x(x + 4) = 0
Para que o produto seja zero, um dos fatores deve ser zero. Assim, temos:
x = 0 ou x + 4 = 0, que resulta em x = -4.
As raízes são x=0 e x=-4.

Tipo 3: b = 0 e c = 0 (Equação apenas com termo quadrático)

Este é o caso mais simples, onde a equação é apenas ax² = 0.

Exemplo:

5x² = 0
Isolando x²: x² = 0
Tirando a raiz quadrada: x = 0.
Esta equação possui apenas uma raiz real, que é 0 (ou duas raízes reais iguais a 0).

Como Resolver Equações do 2º grau: A Fórmula de Bhaskara

A ferramenta mais poderosa para resolver equações do 2º grau completas é a Fórmula de Bhaskara. Ela nos fornece diretamente as raízes da equação.

A fórmula é dada por:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

O termo dentro da raiz quadrada, b² - 4ac, é chamado de discriminante e é representado pela letra grega delta (Δ). O valor do discriminante nos diz quantas raízes reais a equação possui:

• Se Δ > 0: A equação tem duas raízes reais distintas.
• Se Δ = 0: A equação tem uma raiz real (ou duas raízes reais iguais).
• Se Δ < 0: A equação não possui raízes reais (as raízes são complexas).

Passos para usar a Fórmula de Bhaskara:

1. Identifique os coeficientes: Determine os valores de a, b e c na sua equação na forma geral ax² + bx + c = 0.
2. Calcule o discriminante (Δ): Use a fórmula Δ = b² - 4ac.
3. Verifique o valor de Δ: Determine se há raízes reais com base no valor de Δ.
4. Aplique a fórmula de Bhaskara: Substitua os valores de a, b e Δ na fórmula x = \frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}.
5. Calcule as raízes: Resolva para encontrar os valores de x.

Exemplo de Resolução com a Fórmula de Bhaskara

Vamos resolver a equação completa x² - 5x + 6 = 0 utilizando a Fórmula de Bhaskara.

Primeiro, identificamos os coeficientes:
a = 1
b = -5
c = 6

Agora, calculamos o discriminante (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4 · 1 · 6
Δ = 25 - 24
Δ = 1

Como Δ = 1, que é maior que zero, sabemos que teremos duas raízes reais distintas.

Agora, aplicamos a Fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 · 1}
x = \frac{5 \pm 1}{2}

Calculamos as duas raízes:

• Para o sinal de mais (+):
  x₁ = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3
• Para o sinal de menos (-):
  x₂ = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

Portanto, as raízes da equação x² - 5x + 6 = 0 são x=3 e x=2.

Exercícios com Gabarito

1. (ENEM-2021)
Uma empresa produz camisetas e deseja determinar qual a quantidade de camisetas que deve vender para obter o maior lucro. A função que descreve o lucro (L) em função da quantidade de camisetas vendidas (x) é dada por L(x) = -x² + 100x - 1500.
Qual a quantidade de camisetas que a empresa deve vender para obter o maior lucro?

• a) 30
• b) 50
• c) 70
• d) 100
• e) 150

Resposta: Alternativa b: Para encontrar a quantidade que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice da parábola. A coordenada x do vértice de uma parábola ax² + bx + c é dada por -b/(2a). Na função L(x) = -x² + 100x - 1500, temos a = -1 e b = 100. Logo, a quantidade de camisetas é -100 / (2 · -1) = -100 / -2 = 50.

2. (VUNESP-2022)
Resolva a equação do 2º grau: 2x² - 8x = 0.

• a) x=0 e x=4
• b) x=0 e x=-4
• c) x=2 e x=4
• d) x=-2 e x=4
• e) x=2 e x=-4

Resposta: Alternativa a: Esta é uma equação do 2º grau incompleta do tipo ax² + bx = 0. Colocamos x em evidência: x(2x - 8) = 0. Para que o produto seja zero, um dos fatores deve ser zero. Assim, temos x = 0 ou 2x - 8 = 0. Resolvendo a segunda equação: 2x = 8, o que nos dá x = 4. As raízes são x=0 e x=4.

3. (ENEM-2020)
Um projétil é lançado ao ar. A altura h atingida pelo projétil, em metros, é dada pela função quadrática h(t) = -t² + 10t, onde t é o tempo em segundos após o lançamento. Qual a altura máxima atingida pelo projétil?

• a) 10 metros
• b) 20 metros
• c) 25 metros
• d) 30 metros
• e) 50 metros

Resposta: Alternativa c: A altura máxima é o valor máximo da função quadrática, que ocorre no vértice da parábola. A coordenada t do vértice é -b/(2a). Na função h(t) = -t² + 10t, temos a = -1 e b = 10. O tempo para atingir a altura máxima é t = -10 / (2 · -1) = -10 / -2 = 5 segundos. Agora, calculamos a altura para t=5: h(5) = -(5)² + 10(5) = -25 + 50 = 25 metros.